1. Seja a função f(x) = -x^3 + x^2 , determine:
  1. Os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo e os pontos de inflexão.

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora desenvolver essa questão comigo?!

Bom, a questão dá pra gente a função

f x = - x 3 + x 2

e pede para gente dizer quais os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo e os pontos de inflexão.

Tá, mas como conseguiremos fazer isso???

O lance é o seguinte, podemos dizer que a função tem concavidade voltada para baixo quando a derivada segunda dela é menor que zero, e que a função tem concavidade voltada para cima quando a derivada segunda dela é maior que zero. E quem vai dividir os intervalos de sentido da concavidade é justamente o ponto de inflexão da função, que é onde ela muda de comportamento, e nesse ponto a derivada segunda da função é igual a zero.

Então, como você deve ter percebido, quem vai brilhar aqui hoje é justamente a nossa derivada segunda, então bora descobrir quem ela é!

Vem comigo que vamos fazer isso juntos.

Passo 2

A primeira coisa que devemos fazer é encontrar a derivada segunda da função e calcular o pondo de inflexão, que como dito antes, é o ponto onde a derivada segunda é igual a zero.

Assim, fazemos

f x = - x 3 + x 2

E derivando a primeira vez, ficamos com:

f ' x = - 3 x 2 + 2 x

Agora vamos derivar novamente, ficando com:

f ' ' x = - 6 x + 2

Para descobrir o ponto de inflexão, fazemos:

f ' ' x = 0

- 6 x + 2 = 0

Assim,

x = 1 3

Show, achamos um dos itens pedidos pela questão. Partiu agora saber qual o intervalo onde a concavidade da função está voltada para baixo e qual intervalo onde a concavidade da função está voltada para cima.

Passo 3

Acabamos de encontrar os pontos de inflexão, então vamos dividir nossos intervalos da seguinte forma:

Precisamos investigar qual o sinal da derivada segunda da função para valores menores que 1 3 e para valores maiores que 1 3 .

Para valores menores que 1 3 . ( x < 1 3 )

Podemos substituir diretamente um valor menor que 1 3 na derivada segunda da nossa função, como por exemplo o 0 . Veja:

f ' ' x = - 6 x + 2

f ' ' 0 = - 6 ⋅ 0 + 2

f ' ' 0 = + 2

Então chegamos à conclusão que para valores menores que 1 / 3 a derivada segunda da função é positiva, indicando que nesse intervalo a função tem concavidade voltada para cima.

- ∞ , 1 / 3 → f x tem concavidade voltada para cima.

Para valores maiores que 1 / 3 . ( 1 / 3 < x ) :

Podemos pegar o x = 1

f ' ' x = - 6 x + 2

f ' ' 1 = - 6 ⋅ 1 + 2

f ' ' x = - 8

Então chegamos à conclusão que para valores maiores que 1 / 3 a derivada segunda da função é negativa, indicando que nesse intervalo a função tem concavidade voltada para baixo. E escrevemos que

1 / 3   , + ∞ → f x tem concavidade voltada para baixo.

E pra confirmar tudo isso que calculamos, aí vai o gráfico da nossa função:

E prontinho. Problema resolvido. 😊

Partiu próxima?!

Resposta

x = 1 / 3 ponto de inflexão.

- ∞ , 1 / 3 → f x tem concavidade voltada para cima.

1 / 3 ,   ∞ → f x tem concavidade voltada para baixo.

x = 2 3 é   p o n t o d e   m á x i m o   l o c a l .

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