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Exercícios Resolvidos de Concavidade

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 29iig

Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por g ( x ) e em seguida determine o que

se pede:

g ( x ) = x 2 e - x

Quais são os pontos de inflexão do gráfico?

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Nosso objetivo é obter os pontos de inflexão do gráfico.

Mas o que são pontos de inflex��o mesmo? Bem, por definição, esses são os pontos onde temos uma mudança na concavidade do gráfico. Ou seja, se p for ponto de inflexão, então a concavidade do gráfico antes de p é diferente da concavidade do gráfico depois de p .

Agora, como podemos obter informação sobre a concavidade de um gráfico?

Usamos a segunda derivada!!!! O sinal da segunda derivada indica a concavidade de uma função. Se for positivo, a concavidade é para cima, e se for negativo, para baixo.

Ou seja, podemos inferir que os pontos de inflexão ocorrem quando há mudança de sinal na segunda derivada da função. Então vamos começar derivando a nossa g ( x ) . Lembrando que

g ( x ) = x 2 e - x

Mas na letra anterior, já descobrimos quais as regiões de crescimento da segunda derivada, e por consequencia, sua concavidade. Lembrando que

d 2 d x 2 g ( x ) = e - x x 2 - 2 x e - x + 2 e - x - 2 x e - x

E seu sinal está representado na reta real a seguir

Logo a função tem concavidade para cima nos intervalos x < 2 - 2 , x > 2 + 2

E para baixo no intervalo 2 - 2 < x < 2 + 2

Ou seja, os pontos de inflexão irão ocorrer, nesse caso, justamente onde a segunda derivada é zero. Logo Os pontos de inflexão são

x = 2 - 2

x = 2 + 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

x = 2 - 2 e x = 2 + 2

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se