Esboce, no espaço abaixo, o gráfico da função f(x) = (x^2) / (x - 1) * e^(-1/x) , determinando:

iii concavidades e pontos de inflexão, sabendo-se que f''(x) = (x^2 + 1) / ((x - 1)^3 * x^2) * e^(-1/x) ;

Passo 1

Bom, ele já derivou f ' ( x ) para encontrar o f ' ' ( x ) . Agora basta que descubramos como se comporta o sinal dessa função e matamos a questão da concavidade:

f ' ' x = x 2 + 1 x - 1 3 x 2 e - 1 x

São termos sempre positivos o e - 1 x , o x 2 , o x 2 + 1 e o x - 1 2 . Assim, tirando todos caras que falei agora, tudo vai depender de um termo:

1 x - 1

Ele é negativo para x < 1 e positivo para x > 1 , correto? Assim será a concavidade de f ( x ) !

Côncava para cima a partir de x = 1 e para baixo antes disso.

Passo 2

Agora partiu achar esses pontos de inflexão! Os pontos de inflexão são aqueles onde a derivada segunda é igual a 0 ! É nesses pontos que a função troca de concavidade! Então:

f ' ' x = 0

x 2 + 1 x - 1 3 x 2 e - 1 x = 0

x 2 + 1 = 0

x 2 = - 1

E essa equação não tem solução né? ( na verdade teria imaginário mas essa não conta). Então nossa função não tem pontos de inflexão!

Resposta

Côncava para cima a partir de x=1 e para baixo antes disso.

Não tem pontos de inflexão.

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