Esboce, no espaço abaixo, o gráfico da função f x = x 2 x - 1 e - 1 x , determinando:

i i i ) concavidades e pontos de inflexão, sabendo-se que f ' ' x = x 2 + 1 x - 1 3 x 2 e - 1 x ;

Passo 1

Bom, ele já derivou f ' ( x ) para encontrar o f ' ' ( x ) . Agora basta que descubramos como se comporta o sinal dessa função e matamos a questão da concavidade:

f ' ' x = x 2 + 1 x - 1 3 x 2 e - 1 x

São termos sempre positivos o e - 1 x , o x 2 , o x 2 + 1 e o x - 1 2 . Assim, tirando todos caras que falei agora, tudo vai depender de um termo:

1 x - 1

Ele é negativo para x < 1 e positivo para x > 1 , correto? Assim será a concavidade de f ( x ) !

Côncava para cima a partir de x = 1 e para baixo antes disso.

Passo 2

Agora partiu achar esses pontos de inflexão! Os pontos de inflexão são aqueles onde a derivada segunda é igual a 0 ! É nesses pontos que a função troca de concavidade! Então:

f ' ' x = 0

x 2 + 1 x - 1 3 x 2 e - 1 x = 0

x 2 + 1 = 0

x 2 = - 1

E essa equação não tem solução né? ( na verdade teria imaginário mas essa não conta). Então nossa função não tem pontos de inflexão!

Resposta

Côncava para cima a partir de x=1 e para baixo antes disso.

Não tem pontos de inflexão.

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se