Seja f(x) = (1 + 4 * ln(x)) / x^4 - 3 . Admita que f'(x) = - 16 * ln(x) / x^5 .

b Estude a concavidade de f e determine, caso existam, os pontos de inflexão;

Passo 1

Precisamos achar o f ' ' ( x ) para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.

f ' ' x = - 16 ln ⁡ x ' x 5 - - 16 ln ⁡ x x 5 ' x 5 2

= - 16 x x 5 + 16 ln ⁡ x 5 x 4 x 5 2

= 16 5 ln ⁡ x - 1 x 6

Olhando para a derivada segunda percebemos que o sinal só depende do 5 ln ⁡ x - 1 , já que o x do denominador está elevado a uma potência par.

5 ln ⁡ x - 1 = 0

ln ⁡ x = 1 5 → x = e 1 / 5 = e 5 ≈ 1,22

Não precisava dessa aproximação, poderíamos assumir que é um número qualquer entre 1 e 2 , sendo e ≈ 2,72 . Coloquei mais para te guiar na hora de desenhar o gráfico. Assim, e 5 é um ponto de inflexão e a concavidade é para baixo antes dele e para cima depois.

Resposta

  e 5   é   u m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o   e   a   c o n c a v i d a d e   é   p a r a   b a i x o   a n t e s   d e l e   e   p a r a   c i m a   d e p o i s .

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