Estude a função f(x) dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:

k) f(x) = x^3 / (x^2 + 1)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para estudar a função f x = x 3 x 2 + 1 dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.

Lembrando que o ponto de inflexão é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura muda de sinal (de mais para menos e de menos para mais)

Para isso, precisamos descobrir a primeira e a segunda derivada para depois analisar o ponto de inflexão.

Não entendeu? Então bora junto!!😉

Passo 2

Bom... fazendo a primeira e a segunda derivada, temos

f ' x = x 4 + 3 x 2 x 2 + 1 2 ∴

f ' ' x = 6 x - 2 x 3 x 2 + 1 3

Igualando f ' ' x a zero, temos:

6 x - 2 x 3 x 2 + 1 3 = 0 ∴

x = 0

x = ± 3

Logo, temos que:

  • Para x = 0 , então f 0 = 0 ;
  • Para x = 3 , então f 3 = 3 3 4 ;
  • Para x = - 3 , então f - 3 = - 3 3 4 .

Que são os pontos de inflexão.

Passo 3

Agora, analisando f ' ' x , vemos que muda de sinal da seguinte forma:

  • Se x < - 3 , então f ' ' x > 0 ⇒ concavidade para cima;
  • Se - 3 < x < 0 , então f ' ' x < 0 ⇒ concavidade para baixo;
  • Se 0 < x < 3 , então f ' ' x > 0 ⇒ concavidade para cima;
  • Se x > 3 , então f ' ' x < 0 ⇒ concavidade para baixo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto

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