UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 29ivf
Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por e em seguida determine o que se pede:
e) Determine os intervalos para os quais o gráfico de é côncavo para cima ou para baixo.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função , e pediu pra gente verificar os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
Pra verificar esses intervalos, vamos calcular a segunda derivada da função e avaliar seu sinal. Avaliamos o sinal encontrando as raízes da expressão resultante da segunda derivada e atribuindo valores dentro dos intervalos correspondentes. Quando o sinal for negativo, a função é côncava pra baixo, onde for positiva, ela é côncava pra cima.
Vamos lá!
Passo 2
Galera, vamos começar calculando a derivada de usando a regra do quociente:
Derivando novamente, temos:
Passo 3
Beleza, agora vamos analisar o sinal. Queremos saber quando e quando . Então vamos fazer:
Que resulta em:
Aplicando a exponencial dos dois lados, temos:
Então, temos o primeiro intervalo .
Agora quando , temos:
Mas é sempre positivo na função logaritmo, então temos:
Nosso intervalo é .
Passo 4
Agora vamos testar o sinal escolhendo um valor dentro de cada intervalo. Podemos escolher os valores que forem mais convenientes. Por exemplo, para o primeiro intervalo, , podemos usar e para o segundo intervalo, , podemos usar . Assim, temos
E
Como , a concavidade é voltada para cima no intervalo . E como , a concavidade é voltada para baixo em .
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉