Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por g(x) e em seguida determine o que

se pede:

g(x) = x^2 * e^(-x)

Determine os intervalos para os quais o gráfico de g(x) é côncavo para cima ou para baixo.

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Nosso objetivo é obter os pontos de inflexão do gráfico.

Mas o que são pontos de inflexão mesmo? Bem, por definição, esses são os pontos onde temos uma mudança na concavidade do gráfico. Ou seja, se p for ponto de inflexão, então a concavidade do gráfico antes de p é diferente da concavidade do gráfico depois de p .

Agora, como podemos obter informação sobre a concavidade de um gráfico?

Usamos a segunda derivada!!!! O sinal da segunda derivada indica a concavidade de uma função. Se for positivo, a concavidade é para cima, e se for negativo, para baixo.

Ou seja, podemos inferir que os pontos de inflexão ocorrem quando há mudança de sinal na segunda derivada da função. Então vamos começar derivando a nossa g ( x ) . Lembrando que

g ( x ) = x 2 e - x

Mas na letra anterior, já descobrimos quais as regiões de crescimento da segunda derivada. Lembrando que

d 2 d x 2 g ( x ) = e - x x 2 - 2 x e - x + 2 e - x - 2 x e - x

E seu sinal está representado na reta real a seguir

Logo a função tem concavidade para cima nos intervalos x < 2 - 2 ,, x > 2 + 2

E para baixo no intervalo 2 - 2 < x < 2 + 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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