Seja f x = x 5 + b x 4 + c x 3 - 2 x + 1 . Que condições b , c devem satisfazer para que x = 1 seja um ponto de inflexão?

Passo 1

Fala galerinha, tudo tranquilo?

Nessa questão recebemos a função:

f x = x 5 + b x 4 + c x 3 - 2 x + 1

O enunciado nos pede para determinar as condições entre b e c para que o ponto x = 1 seja um ponto de inflexão.

Todo mundo lembra o que é um ponto de inflexão?

Basicamente, é um ponto onde ocorre mudança na concavidade da curva da função. Ele se caracteriza matematicamente por satisfazer:

f ' ' x = 0

Então, vamos calcular a segunda derivada da nossa f ( x ) para encontrar a condição pedida.

Bora lá!

Passo 2

Temos:

f x = x 5 + b x 4 + c x 3 - 2 x + 1

Derivando temos:

f ' x = 5 x 4 + 4 b x 3 + 3 c x 2 - 2

Derivando mais uma vez:

f ' ' x = 20 x 3 + 12 b x 2 + 6 c x

Como queremos que x = 1 seja ponto de inflexão, deve valer que:

f ' ' 1 = 0

∴ 20 + 12 b + 6 c = 0

Logo:

12 b + 6 c = - 20

6 b + 3 c = - 10

Essa é a condição entre b e c que torna x = 1 um ponto de inflexão.

Excelente! Obrigado pela atenção pessoal, até a próxima 😉

Resposta

6 b + 3 c = - 10

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