Seja f uma função derivável definida no intervalo [a, i] . O gráfico abaixo é o gráfico da derivada de f , ou seja, o gráfico de f' :

Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta

b) O ponto (d, f(d)) é um ponto de inflexão do gráfico de f

Passo 1

Beleeza, vamos lá. A questão quer saber se o ponto dado é ou não um ponto de inflexão. Bem, como o ponto de inflexão é o ponto em que a concavidade de f muda, vamos precisar analisar a segunda derivada. Mas peraí, o gráfico:

É da primeira derivada! E agora? Calma gafanhoto! A gente pode até não ter o gráfico de f ' ' , mas olha só:

f ' ' = f ' '

Se a segunda derivada é a derivada da primeira derivada, então a gente pode brincar de reta tangente aqui! Dá uma olhada em como vai ficar a equação da reta tangente ao gráfico de f ' :

y - f ' x 0 = f ' ' x 0 x - x 0

Onde x 0 , f x 0 é o ponto de tangência e f ' ' x 0 a inclinação da reta tangente. Agora dá uma olhada no ponto d , f d . Vamos ter:

x < d → f ' ' x < 0

d < x < e → f ' ' x > 0

Opa, então x = d é um ponto que muda a inclinação da reta tangente de f ' ! Isso quer dizer que:

f ' ' d = 0

E o que é um ponto de inflexão se não um ponto que zera a segunda derivada? Então está corretíssima essa afirmação!

Resposta

Verdadeiro pois   f ' ' d = 0

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