UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.34b
Seja
(b) Determine os intervalos onde é côncava para cima/baixo e seus pontos de inflexão.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos de concavidade da função e seus pontos de inflexão.
Bom, tanto pra analisar a concavidade da função, quando pra determinar seus pontos de inflexão, vamos precisar da derivada segunda.
Isso porque, pelo teste da segunda derivada, temos que:
Pra saber em que intervalos essa função é côncava pra cima ou pra baixo, também precisamos da segunda derivada, porque nos intervalos onde ela for positiva a concavidade será para cima e nos intervalos onde for negativa, a concavidade será para baixo. Então, vamos estudar seu sinal.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função . Pra isso vamos usar a regra do quociente na derivação:
Derivando , também usando a regra do quociente, temos a segunda derivada:
Aplicando a distributiva e simplificando:
Igualando esse resultado a zero, vamos encontrar os pontos de inflexão:
Pra que esse produto seja verdade precisa ser igual a zero ou precisa ser igual a zero. Para o primeiro termo, temos:
E igualando o segundo termo a zero:
Mas isso nos geraria raízes complexas. Então, nesse caso temos nosso ponto de inflexão apenas em .
Passo 3
Agora vamos estudar o sinal dessa segunda derivada, para determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo. Para , vamos super que a derivada seja positiva e encontrar os valores equivalentes de onde isso acontece. Assim, temos:
Para :
Ou
E de modo semelhantes, para :
Sendo assim, nossa função tem concavidade voltada para cima nos intervalos e tem concavidade voltada para baixo em .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉