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Exercícios Resolvidos de Concavidade

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 7b

Em cada item a seguir, determine os intervalos em que f tem concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo. Em seguida, encontre seus pontos de inflexão.

(b) f x = ln ⁡ ( 2 + sin ⁡ x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo e determinar também seus pontos de inflexão. E quem poderá nos defender?

Ela mesmo. Isso porque existe um teorema que nos diz que se f ' ' x > 0 num intervalo a ,   b , então a função f é côncava para cima nesse intervalo. E se f ' ' x < 0 num intervalo ( a ,   b ) , então a função f é côncava para baixo nesse intervalo.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa função duas vezes e estudar o sinal dela, para f ' ' x > 0 e f ' ' x < 0 . Tá, e quando f ' ' x = 0 ? Aí teremos o famoso ponto de inflexão, que é quando a função muda de concavidade.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = ln ⁡ ( 2 + sin ⁡ x )

Derivando ela em relação a x , vamos obter:

f ' x = cos ⁡ ( x ) 2 + sin ⁡ ( x )

Derivando mais uma vez, usando a regra do quociente, temos:

f ' ' x = - sin ⁡ x 2 + sin ⁡ x - cos 2 ⁡ ( x ) 2 + sin ⁡ ( x ) 2

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando f ' ' x > 0 :

- sin ⁡ x 2 + sin ⁡ x - cos 2 ⁡ ( x ) 2 + sin ⁡ ( x ) 2 > 0

Usando a identidade 1 - sin 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x , temos:

- sin ⁡ x 2 + sin ⁡ x - 1 + sin 2 ⁡ x 2 + sin ⁡ ( x ) 2 > 0

Simplificando:

- 2 sin ⁡ x - 1 2 + sin ⁡ ( x ) 2 > 0

Daí temos:

- 2 < sin ⁡ x < - 1 2

Isolando x , verificando o arco onde o seno tem esse valor, vamos ter:

- 5 π 6 + 2 k π < x < - π 6 + 2 k π

Onde k ∈ Z . Então nossa função tem concavidade para cima no intervalo - 5 π 6 + 2 k π ,   - 5 π 6 + 2 k π .

Passo 4

Da mesma forma, fazendo f ' ' x < 0 , temos:

- sin ⁡ x 2 + sin ⁡ x - cos 2 ⁡ ( x ) 2 + sin ⁡ ( x ) 2 < 0

- 2 sin ⁡ x - 1 2 + sin ⁡ ( x ) 2 > 0

- π 6 + 2 k π < x < 7 π 6 + 2 k π

Também para k ∈ Z . E a nossa função tem concavidade para baixo no intervalo - π 6 + 2 k π ,     7 π 6 + 2 k π .

Passo 5

Agora vamos verificar nossos pontos de inflexão fazendo f ' ' x = 0 :

- sin ⁡ x 2 + sin ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 + sin ⁡ x 2 = 0

- 2 sin ⁡ x - 1 2 + sin ⁡ ( x ) 2 = 0 → - 2 sin ⁡ x - 1 = 0

sin ⁡ x = - 1 2

Logo, temos pontos de inflexão em:

x = arcsin ⁡ - 1 2

x = 7 π 6 + 2 k π     o u   x = 11 π 6 + 2 k π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → - 5 π 6 + 2 k π ,   - 5 π 6 + 2 k π

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → - π 6 + 2 k π ,     7 π 6 + 2 k π

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → x = 7 π 6 + 2 k π     e   x = 11 π 6 + 2 k π

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se