Disserte sobre como as derivadas afetam a forma de um gráfico. O seu texto deve responder as seguintes perguntas:

I. O que f ' x diz sobre f x ?

II. O que f ' ' x diz sobre f x ?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse problema é completamente teórico e vamos discutir um pouco o que as derivadas de uma função dizem sobre ela.

A primeira ideia que precisamos lembrar é que a derivada f ' x de uma função nada mais é que a taxa de variação da função f x . Uma analogia muito boa é pensar que f descreve a posição de um corpo e sua derivada representa a velocidade, isto é, a taxa de variação da posição com relação ao tempo.

Se f ' x > 0 , a taxa de variação da função é positiva, de modo que um aumento da variável x representará um aumento no valor da função. Isso significa que a função é crescente nessa região.

Da mesma forma, se f ' x < 0 , a taxa de variação é negativa, indicando que a função é decrescente nesse ponto, isto é, para um aumento no valor de x , o valor da função diminui.

Além disso, se f ' x = 0 temos o chamado ponto crítico: é um ponto em que a reta tangente ao gráfico da função é horizontal e a taxa de variação da função é nula! Esses pontos podem ser pontos de máximo ou mínimo e tem grande importância no estudo das funções!

Passo 2

Assim como f ' x representa a taxa de variação de f x , podemos dizer que f ' ' x representa a taxa de variação de f ' x . Podemos dizer que f ' ' x é a taxa de variação da taxa de variação de f x . A analogia aqui é: enquanto f x representa a posição de um corpo e f ' x representa sua velocidade, f ' ' ( x ) é a aceleração.

Do ponto de vista gráfico, a segunda derivada f ' ' x dará informações sobre a concavidade do gráfico de f x .

Se f ' ' x > 0 , a concavidade da função será para cima (pensa na parábola feliz). Já para f ' ' x < 0 , a concavidade será para baixo (parábola triste). Os pontos em que f ' ' x = 0 são chamados de pontos de inflexão: neles geralmente há uma mudança de concavidade!

Resposta

Explicação.

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