Seja f : I R → I R duas vezes diferenciável tal que f ' x < 0 e f ' ' x > 0 para todo x ∈ 0,1 . Considere g x = f 2 x - x ² . No intervalo 1,2 é correto afirmar que:

  1. g é decrescente e côncava para baixo
  2. g é crescente e côncava para baixo
  3. g é decrescente e côncava para cima
  4. g é crescente e côncava para cima

Passo 1

A questão pede g , mas vamos falar sobre f e achar as expressões de g ' x e g ' ' x

Antes da gente começar a tentar achar informações sobre g , vamos falar de f : sendo f ' x < 0 e f ' ' x > 0 para todo x ∈ 0,1 , então, nesse intervalo, f vai ser decrescente e côncava para cima. Guarda isso na cachola.

Agora, mesmo a gente não sabendo a cara de f x , podemos usar a famosa regra da cadeia para obter g ' x e g ' ' x . Dá uma olhada:

g ' x = f 2 x - x ² '

g ' x = 2 x - x ² ' f ' 2 x - x ²

g ' x = 2 - 2 x f ' 2 x - x ²

E pra g ' ' x vamos ter:

g ' ' x = 2 - 2 x f ' 2 x - x ² '

g ' ' x = 2 - 2 x ' f ' 2 x - x ² +   2 - 2 x 2 x - x ² ' f ' ' 2 x - x ²

g ' ' x = - 2 f ' 2 x - x ² + 2 - 2 x ²   f ' ' 2 x - x ²

Então ficamos com:

g ' x = 2 - 2 x f ' 2 x - x ²

g ' ' x = - 2 f ' 2 x - x ² + 2 - 2 x ²   f ' ' 2 x - x ²

Passo 2

Analisar a inclinação da reta tangente de g x

Beleza, não temos a expressão exaaata exataa de g ' x , que é a equação da inclinação da reta tangente. Mas relaxa que mesmo assim, no intervalo 1,2 , podemos inferir algumas coisas. Vamos começar substituindo x = 1 :

g ' 1 = 2 - 2.1 f ' 2.1 - 1 ²

g ' 1 = 0

Opa, então em x = 1 encontramos um ponto crítico de g x . Show, mas fazendo agora com x = 2 , temos:

g ' 2 = 2 - 2.2 f ' 2.2 - 2 ²

g ' 2 = - 2 f ' 0

Pra entender esse resultado, da uma olhada rapidinho no enunciado de novo: f ' x < 0 ,   x   ϵ   0,1 . Disso daí tiramos que

f ' 0 < 0

- 2 f ' 0 > 0

g ' 2 > 0

Então se a inclinação da reta tangente de g x no intervalo 1,2 sai de 0 para um valor positivo, isso quer dizer que nesse intervalo g x é crescente. Corta aí as letras a ) e c ) e vamos qual das que sobraram é a verdadeira.

Passo 3

Analisar a concavidade de g x

Aqui o passo a passo é o mesmo, mas vamos usar dessa vez:

g ' ' x = - 2 f ' 2 x - x ² + 2 - 2 x ²   f ' ' 2 x - x ²

Analisando pra x = 1 , temos:

g ' ' 1 = - 2 f ' 2 . 1 - 1 ² + 2 - 2 . 1 ²   f ' ' 2 . 1 - 1 ²

g ' ' 1 = - 2 f ' 1

Aí sim, sabemos dizer coisas sobre f ' . Do próprio enunciado, podemos tirar que:

f ' - 1 < 0

- 2 f ' - 1 > 0

g ' ' 1 > 0

E pra x = 2 , temos:

g ' ' 2 = - 2 f ' 2.2 - 2 ² + 2 - 2.2 ²   f ' ' 2.2 - 2 ²

g ' ' 2 = - 2 f ' 0 + 4   f ' ' 0

Como ta tudo em função de f e conseguimos discutir o comportamento dessa função, conseguimos chegar a conclusão, do enunciado, que:

f ' ' 0 > 0

4 f ' ' 0 > 0

E do primeiro passo já tínhamos visto que

- 2 f ' 0 > 0

Se g ' ' 2 é a soma de dois termos positivos, então:

g ' ' 2 > 0

Pra fechar com chave de ouro, olhando pra o que encontramos:

g ' ' 1 > 0

g ' ' 2 > 0

Podemos concluir que no intervalo 1,2 a função g x vai ser côncava pra cima! Show de bola, acabamos aqui!

Resposta

L e t r a   D

g é crescente e côncava para cima

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