Seja duas vezes diferenciável tal que e para todo . Considere . No intervalo é correto afirmar que:
- é decrescente e côncava para baixo
- é crescente e côncava para baixo
- é decrescente e côncava para cima
- é crescente e côncava para cima
Passo 1
A questão pede , mas vamos falar sobre e achar as expressões de e
Antes da gente começar a tentar achar informações sobre , vamos falar de : sendo e para todo , então, nesse intervalo, vai ser decrescente e côncava para cima. Guarda isso na cachola.
Agora, mesmo a gente não sabendo a cara de , podemos usar a famosa regra da cadeia para obter e . Dá uma olhada:
E pra vamos ter:
Então ficamos com:
Passo 2
Analisar a inclinação da reta tangente de
Beleza, não temos a expressão exaaata exataa de , que é a equação da inclinação da reta tangente. Mas relaxa que mesmo assim, no intervalo , podemos inferir algumas coisas. Vamos começar substituindo :
Opa, então em encontramos um ponto crítico de . Show, mas fazendo agora com , temos:
Pra entender esse resultado, da uma olhada rapidinho no enunciado de novo: . Disso daí tiramos que
Então se a inclinação da reta tangente de no intervalo sai de para um valor positivo, isso quer dizer que nesse intervalo é crescente. Corta aí as letras e e vamos qual das que sobraram é a verdadeira.
Passo 3
Analisar a concavidade de
Aqui o passo a passo é o mesmo, mas vamos usar dessa vez:
Analisando pra , temos:
Aí sim, sabemos dizer coisas sobre . Do próprio enunciado, podemos tirar que:
E pra , temos:
Como ta tudo em função de e conseguimos discutir o comportamento dessa função, conseguimos chegar a conclusão, do enunciado, que:
E do primeiro passo já tínhamos visto que
Se é a soma de dois termos positivos, então:
Pra fechar com chave de ouro, olhando pra o que encontramos:
Podemos concluir que no intervalo a função vai ser côncava pra cima! Show de bola, acabamos aqui!
Resposta
é crescente e côncava para cima