Estude a função f(x) dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:

c) f(x) = e^(-x^2)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para estudar a função f ( x )   =   e - x 2 dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.

Lembrando que o ponto de inflexão é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura muda de sinal (de mais para menos e de menos para mais)

Para isso, precisamos descobrir a primeira e a segunda derivada para depois analisar o ponto de inflexão.

Não entendeu? Então bora junto!!😉

Passo 2

Bom... fazendo a primeira e a segunda derivada, temos

f ' x = - 2 x 2 e - x 2 ∴

f ' ' x = 4 x 2 e - x 2 - 2 e - x 2

Igualando f ' ' x a zero, temos:

4 x 2 e - x 2 - 2 e - x 2 = 0 ∴

x = ± 2 2

Logo, temos que f ± 2 2 = f 2 2 = f - 2 2 = 1 e .

Assim, temos os seguintes pontos de inflexão:

- 2 2 , 1 e   ,   2 2 , 1 e  

Passo 3

Agora, analisando f ' ' x , vemos que muda de sinal da seguinte forma:

  • Se x < - 2 2 , então f ' ' x > 0 ⇒ côncavo para cima;
  • Se - 2 2 < x < 2 2 , então f ' ' x < 0 ⇒ côncavo para baixo;
  • Se x > 2 2 , então f ' ' x > 0 ⇒ côncavo para cima.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto

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