Em cada item a seguir, determine os intervalos em que f tem concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo. Em seguida, encontre seus pontos de inflexão.

(d) f(x) = x^2 / (x - 1)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo e determinar também seus pontos de inflexão. E quem poderá nos defender?

Ela mesmo. Isso porque existe um teorema que nos diz que se f ' ' x > 0 num intervalo a ,   b , então a função f é côncava para cima nesse intervalo. E se f ' ' x < 0 num intervalo ( a ,   b ) , então a função f é côncava para baixo nesse intervalo.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa função duas vezes e estudar o sinal dela, para f ' ' x > 0 e f ' ' x < 0 . Tá, e quando f ' ' x = 0 ? Aí teremos o famoso ponto de inflexão, que é quando a função muda de concavidade.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x 2 x - 1

Derivando ela em relação a x , usando a regra do quociente, vamos obter:

f ' x = 2 x x - 1 - x 2 x - 1 2 = x 2 - 2 x x - 1 2

Derivando mais uma vez, temos:

f ' ' x = 2 x - 1 3

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando f ' ' x > 0 :

2 x - 1 3 > 0

Usando a propriedade 1 a > 0 → a > 0 , temos:

x - 1 3 > 0

x - 1 > 0 → x > 1

Então, nossa função tem concavidade para cima quando x > 1 .

Passo 4

Da mesma forma, fazendo f ' ' x < 0 , temos:

2 x - 1 3 < 0

x - 1 3 < 0

x - 1 < 0 → x < 1

E nossa função tem concavidade para baixo quando x < 1 .

Passo 5

Agora vamos verificar nossos pontos de inflexão fazendo f ' ' x = 0 :

2 x - 1 3 = 0

Multiplicando os dois lados por x - 1 3 , teríamos:

2 = 0

Mas isso não é verdade, logicamente rs. Portanto, nossa função não possui pontos de inflexão, porque não existe solução real para f ' ' x = 0 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x > 1

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x < 1

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → n ã o   t e m

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