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Exercícios Resolvidos de Concavidade

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Enunciado

UFF, Niterói - Praia Vermelha, Cálculo IA, P2 - 2022.2, Questão 1d

Considere a função f x = x e - x , definida em seu maior domínio possível.

d) Determine os intervalos onde f tem concavidade para baixo e onde tem concavidade para cima. Determine também os pontos de inflexão, caso existam.

Passo 1

Faaaaala pessoal, tudo na paz?

Nessa questão temos a função:

f x = x e - x

E, precisamos determinar os pontos de inflexão, bem como os intervalos onde f ( x ) tem concavidade para baixo e para cima.

Para fazer isso precisamos analisar a segunda derivada de f ( x ) .

Onde tivermos:

f ' ' x > 0 → f tem concavidade cima

f ' ' x = 0 → ponto de inflexão de f

f ' ' x < 0 → f tem concavidade para baixo

Show? Então tá, vamos calcular a segunda derivada de f e depois realizar essa análise.

Vem comigo 😊

Passo 2

Pra começar precisaremos calcular a primeira derivada de f . Assim:

f ' x = x ⋅ e - x '

Como temos um produto de funções precisaremos usar a regra do produto:

g ⋅ h ' = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

Logo:

f ' x = x ' ⋅ e - x + x ⋅ e - x '

Temos que:

x ' = 1 e - x ' =   - e - x

Substituindo, vamos ter:

f ' x = e - x + x ⋅ - e - x

= e - x ( 1 - x )

Ou seja:

f ' x = e - x ( 1 - x )  

Vamos agora calcular a segunda derivada de f .

f ' ' x = e - x 1 - x '

Novamente, usando a regra do produto, temos:

f ' ' x = e - x ' ⋅ 1 - x + e - x ⋅ 1 - x '

Daí:

e - x =   - e - x 1 - x ' = - 1

Substituindo, vem:

f ' ' x =   - e - x ⋅ 1 - x + e - x ⋅ - 1

=   - e - x + x ⋅ e - x - e - x

∴ f ' ' x = e - x ( x - 2 )

Muito bom!

Passo 3

Agora que já calculamos a segunda derivada de f , precisamos analisar onde ela assumirá valores positivos, negativos, e onde valerá zero.

f ' ' ( x ) é dada pelo produto de duas funções, mas e - x é sempre positiva. Assim, o sinal de f ' ' ( x ) será determinado pelo sinal do termo x - 2 .

x - 2 > 0

∴ x > 2

Da mesma forma:

x - 2 < 0

∴ x < 2

Por fim:

x - 2 = 0

∴ x = 2

Ou seja, temos que:

f ' ' x < 0   s e   x ∈ ( - ∞ , 2 ) f ' ' x = 0   s e   x = 2 f ' ' x > 0   s e   x ∈ ( 2 ,   + ∞ )

Portanto, lembrando daquilo que comentamos no enunciado,

f ' ' x > 0 → f tem concavidade cima

f ' ' x = 0 → ponto de inflexão de f

f ' ' x < 0 → f tem concavidade para baixo

Temos:

x ∈ - ∞ , 2 ∴ f   t e m   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o x = 2 ∴ p o n t o   d e   i n f l e x ã o   d e   f x ∈ 2 , ∞ ∴ f   t e m   c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

Prontinho, com isso matamos esse item!

Espero que vocês tenham curtido a solução 😊

Resposta

x ∈ - ∞ , 2 ∴ f   t e m   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o x = 2 ∴ p o n t o   d e   i n f l e x ã o   d e   f x ∈ 2 , ∞ ∴ f   t e m   c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

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