UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.44b
Seja
(b) Determine os intervalos onde é côncava para cima/baixo e seus pontos de inflexão.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos de concavidade da função e seus pontos de inflexão.
Bom, tanto pra analisar a concavidade da função, quando pra determinar seus pontos de inflexão, vamos precisar da derivada segunda.
Isso porque, pelo teste da segunda derivada, temos que:
Pra saber em que intervalos essa função é côncava pra cima ou pra baixo, também precisamos da segunda derivada, porque nos intervalos onde ela for positiva a concavidade será para cima e nos intervalos onde for negativa, a concavidade será para baixo. Então, vamos estudar seu sinal.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função . Pra isso vamos usar a regra do produto na derivação:
Derivando , também usando a regra do produto no segundo termo, temos a segunda derivada:
Igualando esse resultado a zero, vamos encontrar possíveis pontos de inflexão:
Como nunca é zero, temos:
Então, em , temos um ponto de inflexão da função.
Passo 3
Agora vamos vericar os intervalos onde a segunda derivada, , é positiva ou negativa. Para , temos:
De modo semelhantes, para , vamos ter:
Isso significa que no intervalo , nossa função tem concavidade voltada para cima e no intervalo nossa função tem concavidade para baixo.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉