Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por g(x) e em seguida determine o que se pede:

iv(g(x)) = ln(x) / x

g) Quais os pontos de inflexão do gráfico?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função g x = ln ⁡ x x , e pediu pra gente verificar os pontos de inflexão do gráfico.

O ponto de inflexão é aquele onde a segunda derivada muda de sinal. Então, vamos igualar a segunda derivada a zero para encontrar esse ponto.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, vamos começar calculando a derivada de g ( x ) usando a regra do quociente:

g ' x = 1 x x - 1 ( ln ⁡ x ) x 2 = 1 - ln ⁡ x x 2

Derivando novamente, temos:

g ' ' x = - 1 x x 2 - 2 x 1 - ln ⁡ x x 4 =

g ' ' x = 2 ln ⁡ x - 3 x 3

Agora para g ' ' x = 0 , vamos ter:

2 ln ⁡ x - 3 x 3 = 0

2 ln ⁡ x - 3 = 0

ln ⁡ x = 3 2

Aplicando a exponencial dos dois lados, temos:

x = e 3 / 2

Portanto, x = e 3 / 2 é nosso ponto de inflexão.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = e 3 / 2

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