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Exercícios Resolvidos de Concavidade

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Enunciado

Considere a função f : I R - 0 → I R dada por:

f x = - x + 1 + 1 x + 1 x 2

É correto afirmar que f tem concavidade pra baixo em:

  1. ] 0 , 1 2 [
  2. ] - 5 2 , - 2 [
  3. ] - 4 ,   - 7 2 [
  4. ] - 2 , - 3 2 [
  5. ] 1 , 3 2 [

Passo 1

Bora começar. Primeiro de tudo, como a função quer saber em que intervalo a função tem concavidade pra baixo, na verdade na verdade o que ela ta pedindo é pra você dizer em que valores de x vale:

f ' ' x < 0

Então não tem jeito, vamos ter que derivar! Mão na massa!

f ' x = - x + 1 + 1 x + 1 x 2 ' = - x 3 x 2 + x 2 x 2 + x x 2 + 1 x 2 '

f ' x = - x 3 + x 2 + x + 1 x 2 '

Pela regra do quociente:

f ' x = - x 3 + x 2 + x + 1 ' x 2 - - x 3 + x 2 + x + 1 x 2 ' x 4

f ' x = - 3 x 2 + 2 x + 1 x 2 - - x 3 + x 2 + x + 1 2 x x 4

f ' x = - 3 x 2 + 2 x + 1 x - - x 3 + x 2 + x + 1 2 x 3

f ' x = - 3 x 3 + 2 x 2 + x - - 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 2 x 3

Continuando, temos:

f ' x = - 3 x 3 + 2 x 2 + x + 2 x 3 - 2 x 2 - 2 x - 2 x 3

f ' x = - x 3 - x - 2 x 3

Passo 2

Ok, mas não queremos falar da primeira derivada e sim da segunda né? Então vamos derivar mais uma vezinha. Pela regra do quociente de novo, temos:

f ' ' x = - x 3 - x - 2 x 3 '  

f ' ' x = - x 3 - x - 2 ' x 3 - - x 3 - x - 2 x 3 '   x 6

f ' ' x = - 3 x 2 - 1 x 3 - - x 3 - x - 2 3 x 2   x 6

f ' ' x = - 3 x 5 - x 3 - - 3 x 5 - 3 x 3 - 6 x 2 x 6

E continuando com a manipulação:

f ' ' x = - 3 x 5 - x 3 + 3 x 5 + 3 x 3 + 6 x 2 x 6

f ' ' x = 2 x 3 + 6 x 2 x 6

f ' ' x = 2 x + 6 x 4

Passo 3

Agora vamos interpretar tudo que achamos. A segunda derivada da função é:

f ' ' x = 2 x + 6 x 4

E ela zera somente em x = - 3 , pois esse é o valor de x que zera o numerador. Pra saber então o sinal da segunda derivada vamos analisar ela em intervalos que envolvam esse ponto e o ponto x = 0 já que ele não está definido? Beleza? Os intervalos vão ser:

- ∞ , - 3

- 3,0

0 , + ∞

Pro primeiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = - 4 , pro segundo x = - 1 e pro terceiro x = 4 . Vamos ter:

f ' ' - 4 = 2 - 4 + 6 - 4 4 = - 1 128 < 0

f ' ' - 1 = 2 - 1 + 6 - 1 4 = 4 > 0

f ' ' 4 = 2 4 + 6 4 4 = 7 128 > 0

Como uma função tem concavidade pra baixo somente no intervalo em que f ' ' x < 0 , dos intervalos do enunciado, somente o intervalo:

] - 4 ,   - 7 2 [

Se enquadra, pois ele é o único que está contido no intervalo - ∞ , - 3 onde f ' ' x < 0 . A letra certa então é a C !

Resposta

L e t r a   C

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