Prove que se p é um polinômio, a equação e x - p x = 0 não pode ter infinitas soluções.

Passo 1

Faaaaala pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão precisamos provar que, se p ( x ) for um polinômio:

e x - p x = 0

Não possui infinitas soluções.

Ou seja, a função f ( x ) dada por:

f x = e x - p ( x )

Não possui infinitas raízes.

Puts, parece complicado... como podemos fazer isso?

Então galera, se uma função possui infinitas raízes reais, ela também precisa ter o que??

É necessário que ela tenha infinitos pontos críticos, pois ela tem que ficar variando em torno do eixo x : aumenta o seu valor, atinge o ponto crítico e diminui de valor até atingir o próximo ponto crítico. Sempre passando pelo eixo x . Sacaram?

Sendo assim, vamos supor que existe infinitas soluções, e tentamos demonstrar que é absurdo pois a função não possui infinitos pontos críticos.

Vamos usar isso pra provar a nossa afirmação por absurdo.

Vem comigo!!

Passo 2

Então, vamos supor que existem infinitas soluções.

Ou seja, a função:

f x = e x - p ( x )

possui infinitos pontos críticos. Sendo isso verdade, derivando f ( x ) e igualando a zero encontraremos uma equação que possui infinitas soluções.

Teremos:

f ' x = e x - p x

= e x - p ' x = 0

Ou seja, a equação:

e x - p ' x = 0

precisa possuir infinitas soluções.

Chamando:

p ' x = q x

Temos:

e x - q x = 0

Olha que interessante galera, a equação acima é a mesma dada no enunciado, só que no lugar de p ( x ) , um polinômio genérico, temos q ( x ) que também é um polinômio genérico.

Então, podemos seguir a mesma linha de raciocínio, para a equação ser verdadeira, precisa ter infinitos pontos críticos. E, pra ter infinitos pontos críticos, precisamos derivá-la e igualar a zero.

Assim:

e x - p ' x ' = e x - p ' ' x = 0

E, novamente caímos no mesmo tipo de problema...

Fazendo essa derivação quantas vezes forem necessárias, chegaremos em um polinômio de grau 0 , ou seja, apenas uma constante. É uma equação do tipo:

e x - k = 0

E, essa equação precisaria ter infinitas soluções. Mas, isso é um absurdo, pois e x é estritamente crescente e k é constante.

Ou seja, a nossa suposição de que existia uma função:

f x = e x - p ( x )

com infinitas soluções reais é falsa!

Portanto:

e x - p x =   0

Não possui infinitas soluções reais.

Sacaram?

Espero que tenham curtido a solução e até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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