USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.44
Prove que se é um polinômio, a equação não pode ter infinitas soluções.
Passo 1
Faaaaala pessoal, tudo bem com vocês?
Nessa questão precisamos provar que, se for um polinômio:
Não possui infinitas soluções.
Ou seja, a função dada por:
Não possui infinitas raízes.
Puts, parece complicado... como podemos fazer isso?
Então galera, se uma função possui infinitas raízes reais, ela também precisa ter o que??
É necessário que ela tenha infinitos pontos críticos, pois ela tem que ficar variando em torno do eixo : aumenta o seu valor, atinge o ponto crítico e diminui de valor até atingir o próximo ponto crítico. Sempre passando pelo eixo . Sacaram?
Sendo assim, vamos supor que existe infinitas soluções, e tentamos demonstrar que é absurdo pois a função não possui infinitos pontos críticos.
Vamos usar isso pra provar a nossa afirmação por absurdo.
Vem comigo!!
Passo 2
Então, vamos supor que existem infinitas soluções.
Ou seja, a função:
possui infinitos pontos críticos. Sendo isso verdade, derivando e igualando a zero encontraremos uma equação que possui infinitas soluções.
Teremos:
Ou seja, a equação:
precisa possuir infinitas soluções.
Chamando:
Temos:
Olha que interessante galera, a equação acima é a mesma dada no enunciado, só que no lugar de , um polinômio genérico, temos que também é um polinômio genérico.
Então, podemos seguir a mesma linha de raciocínio, para a equação ser verdadeira, precisa ter infinitos pontos críticos. E, pra ter infinitos pontos críticos, precisamos derivá-la e igualar a zero.
Assim:
E, novamente caímos no mesmo tipo de problema...
Fazendo essa derivação quantas vezes forem necessárias, chegaremos em um polinômio de grau , ou seja, apenas uma constante. É uma equação do tipo:
E, essa equação precisaria ter infinitas soluções. Mas, isso é um absurdo, pois é estritamente crescente e é constante.
Ou seja, a nossa suposição de que existia uma função:
com infinitas soluções reais é falsa!
Portanto:
Não possui infinitas soluções reais.
Sacaram?
Espero que tenham curtido a solução e até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.