UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.37b
Seja
(b) Determine os intervalos onde é côncava para cima/baixo e seus pontos de inflexão.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos de concavidade da função e seus pontos de inflexão.
Bom, tanto pra analisar a concavidade da função, quando pra determinar seus pontos de inflexão, vamos precisar da derivada segunda.
Isso porque, pelo teste da segunda derivada, temos que:
Pra saber em que intervalos essa função é côncava pra cima ou pra baixo, também precisamos da segunda derivada, porque nos intervalos onde ela for positiva a concavidade será para cima e nos intervalos onde for negativa, a concavidade será para baixo. Então, vamos estudar seu sinal.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função . Pra isso vamos usar a regra do quociente na derivação:
Derivando , também usando a regra do quociente, temos a segunda derivada:
Igualando esse resultado a zero, vamos encontrar possíveis pontos de inflexão:
Isolando , teríamos:
O que nos geraria valores complexos. Então, podemos dizer que nossa função não tem pontos de inflexão.
Passo 3
Agora vamos vericar os intervalos onde a segunda derivada, , é positiva ou negativa. Para , temos:
Como já sabemos que não temos raízes reais no numerador, vamos verificar o sinal apenas do denominador, fazendo:
Ou seja, para , temos:
De modo semelhantes, para , vamos ter:
Então,
Isso significa que no intervalo , nossa função tem concavidade voltada para cima e no intervalo nossa função tem concavidade para baixo.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉