UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, 3º Estágio - 2016.1, Questão 3b
Dada a função . Determine:
b) concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente determinar a concavidade da função e seus pontos de inflexão.
Pra testar se uma função é côncava para cima ou para baixo, precisamos calcular a segunda derivada da função. Dessa forma, o teste da concavidade nos diz que:
Se , para todo no intervalo, então é concavo para cima.
Se , para todo no intervalo, então é concavo para baixo.
E nós vamos ter um ponto de inflexão se a função for contínua no ponto e mudar de concava pra cima para concava pra baixo em , ou vice-versa.
Então, vamos lá!
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada da função :
Derivando novamente, temos:
Quando é positiva, a função tem concavidade para cima, então vamos verificar o intervalo fazendo :
Para , temos:
Logo, tem concavidade voltada pra cima para valores de no intervalo e concavidade para baixo para valores de no intervalo . Como a função muda de concava pra cima para concava pra baixo em , então nosso ponto de inflexão é .
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉