Seja f uma função derivável definida no intervalo a , i . O gráfico abaixo é o gráfico da derivada de f , ou seja, o gráfico de f ' :

Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta

d) No intervalo e , i o gráfico de f é côncavo pra cima

Passo 1

Beleeza, vamos lá. A questão quer saber sobre a concavidade de f . Bem, vamos precisar analisar a segunda derivada. Mas peraí, o gráfico:

É da primeira derivada! E agora? Calma gafanhoto! A gente pode até não ter o gráfico de f ' ' , mas olha só:

f ' ' = f ' '

Se a segunda derivada é a derivada da primeira derivada, então a gente pode brincar de reta tangente aqui! Dá uma olhada em como vai ficar a equação da reta tangente ao gráfico de f ' :

y - f ' x 0 = f ' ' x 0 x - x 0

Onde x 0 , f x 0 é o ponto de tangência e f ' ' x 0 a inclinação da reta tangente. Agora dá uma olhada no intervalo e , i . Se dividirmos esse intervalo em dois:

e , i = e , g ∪ ( g , i ]

Vamos poder analisar cada um desses dois intervalos. E puts, olha como fica a segunda derivada em cada um:

e , g → f ' ' < 0

g , i → f ' ' > 0  

Se o sinal da segunda derivada está mudando a partir de x = g , é porque x = g é um ponto de inflexão.

A questão vai ser falsa então. Nem sequer temos um tipo de concavidade só no intervalo e , i pra dizer que esse único tipo é virada pra cima!

Resposta

Falsa pois g ∈ e , i → f ' ' g = 0 , logo g é um ponto de inflexão

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se