Determine se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
a) Se , então é ponto de inflexão do gráfico de .
b) Se , então .
Passo 1
a) Essa proposição é falsa ok? Vamos provar isso com um contra exemplo.
Vamos supor a função e o valor de
Temos e , e, de fato, , de acordo com as condições iniciais da proposição não é?
A proposição diz que é ponto de inflexão de :
Será que realmente é ponto de inflexão de ?
Passo 2
Vamos estudar o sinal da segunda derivada de
Quando é positivo (concavidade pra cima) e quando é negativo (concavidade pra baixo)?
Cara, a gente tem um aí nessa segunda derivada, então ela seeeeempre vai ser positiva, qualquer número ao quadrado é positivo!! Ou seja, se a segunda derivada da função sempre é positivda, a função sempre vai ter concavidade pra cima :O o que isso quer dizer? Que não tem ponto de inflexão hehe
Logo, não é um ponto de inflexão de . Olha aí o gráfico bonitão dessa função:
Passo 3
b) Essa proposição é falsa também hein! Olha um contra exemplo:
Se , ou seja, uma contante, e escolhermos . Temos
Observe que como é constante, ele vai ser pra qualquer valor de , afinal, não tem na expressão hahahaha
Se , então
.
Agora vamos fazer , conforme fala o enunciado:
Como , a proposição não é satisfeita.
Resposta
a) Falsa
b) Falsa