Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.
Passo 1
Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):
Olha lá, usando a regra do quociente, a segunda derivada:
Dividindo em cima e em baixo por , temos:
E por fim:
Passo 2
Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador primeiro, o termo por si só não tem raiz e é sempre positivo. Quando elevado ao cubo ele se mantém sempre positivo. No fim, tudo se resume ao sinal do termo superior:
Para analisarmos o sinal do termo superior, vamos fazer as raízes de , vamos ter:
Com essas raízes, temos 3 intervalos pra checar:
Testamos o sinal escolhendo um valor dentro de cada um desses intervalos, como a segunda derivada só muda de sinal nas raízes, o sinal de qualquer valor escolhido dentro de cada intervalo será verdade para todo o intervalo. Agora, qual valor escolher? O que for mais conveniente.
Passo 3
Dá para gente escolher para o primeiro, para o segundo e para o terceiro. Vamos lá:
Ora, vemos que só é negativa dentro do intervalo . Isso significa que a função é côncava para cima para todo , menos quando , onde ela é côncava para baixo.
O ponto de inflexão é aquele onde a segunda derivada muda de sinal e, portanto, aquelas raízes que a gente achou:
Se você prefere pelo quadro de sinais:
Resposta
Pontos de inflexão: