Cálculo 1, UNB, P1, 2021.2, Questão 1.a
Determine:
Passo 1
Falaaa, belezinha?? Bora lá começar essa provinha de cálculo.
Logo na primeira questão já temos que calcular um limite, porém, veja que não podemos apenas aplicar o valor de na questão de forma direta, pois não conseguimos chegar em nenhum valor fazendo isso.
Isso ocorre pois temos termos do tipo e , quando colocamos indo para infinito isso não vai nos retornar um número, porém, uma ideia muito legal quando se tem é fazer aparecer frações do tipo , pois nesse caso, quando vai para infinito a fração vai para zero.
Ou seja, nosso objetivo será forçar aparecer valores de no denominador para aplicarmos o limite.
Passo 2
Para fazermos aparecer denominadores nessa expressão, podemos usar uma ideia muito comum quando temos coisas do tipo , a ideia será racionalizar a expressão, ou seja, multiplicar tudo por . Bora lá:
A grande motivação de fazer isso é aparecer a seguinte fatoração:
Usando isso:
Ou seja:
Agora podemos usar a ideia falada no passo 1.
Passo 3
Veja que basta fazermos aparecer coisas do tipo , ou seja, podemos colocar em evidencia no denominador, ficando:
Podemos simplificar, ficando:
E agora a gente fica feliz, pois podemos só aplicar o limite usando que
Ficamos com:
E assim chegamos ao fim do primeiro probleminha dessa prova, deixando uma ideia muito importante para se ter, quando se tem coisas com raiz, em geral, racionalizar ajuda muito. Bora para o próximo?