Lista 3 de Cálculo 3 da USP - 2022.1

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

1. é a parte da esfera interior ao cone ;

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

b) é a parte do cilindro compreendida entre os planos e ;

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

c) é a parte do plano que é interior ao cilindro ;

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

d) é a parte do paraboloide hiperbólico que está ente os cilindros e ;

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

e) é a parte do cilindro que está no interior do cilindro , onde .

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

f) é a parte da esfera que está no interior do cilindro , onde ;

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

g) é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano cm centro e raio em torno do eixo .

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

h) é a parte da esfera com .

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

i) é a parte do paraboloide limitada pela superfície .

Sejam e uma função positiva com derivada contínua. Determine equações paramétricas das superfícies geradas pela rotação da curva em torno do:

eixo

eixo .

Calcule a área da superfície em cada caso.

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

onde é a superfície dada por ;

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

onde é a esfera ;

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

onde é a parte do plano limitada pelo cilindro

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

onde é o hemisfério , ;

onde é a parte da esfera interior ao cone ;

Suponha que a superfície seja o gráfico de uma função de classe , orientada de modo que a sua normal unitária tenha a terceira componente não negativa. Se é um campo de vetores sobre , mostre que

Use o teorema de Stokes para calcular em cada um dos seguintes casos:

e é a fronteira da parte do plano 3x + y + z = 3 contida no primeiro octante,orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário;

Use o teorema de Stokes para calcular em cada um dos seguintes casos:

e é a fronteira do triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 2), orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário;

Use o teorema de Stokes para calcular em cada um dos seguintes casos:

e é a intersecção do plano com o cilindro, orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário;

Use o teorema de Stokes para calcular em cada um dos seguintes casos:

e é a fronteira do parabolóide contida no primeiro octante, orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário;

Use o teorema de Stokes para calcular em cada um dos seguintes casos:

e é a intersecção do cilindro com o plano , orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário;

Calcule , sendo

e é a intersecção do cilindro com a superfície orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido anti-horário.

Calcule , sendo

e é a intersecção das superfícies do cilindro com o plano , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido horário.

Calcule , sendo

e é a intersecção das superfícies e , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido anti-horário.

Calcule , sendo

e é a intersecção do parabolóide com o cilindro , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido anti-horário.

Calcule , sendo

e é a intersecção do cilindro com o plano , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido anti-horário.

Calcule , sendo .

Seja a curva de intersecção do prisma (superfície) de faces , , , , com o plano , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido anti-horário. Calcule .

Calcule onde e é a intersecção do cilindro com a superfície orientada de modo que sua projeção no plano tenha sentido anti-horário.

Calcule sendo e a intersecção das superfícies e com projeção no plano percorrida uma vez no sentido horário.

Calcule , onde e é a fronteira da região limitada pelo cilindro entre os planos e , orientada pela normal exterior.

Calcule , onde está orientada pela normal exterior nos seguintes casos:

é a esfera ;

Calcule , onde está orientada pela normal exterior nos seguintes casos:

é a fronteira da região limitada por e .

Seja , onde . Calcule , onde é a normal unitária exterior a nos seguintes casos:

é a esfera de raio com centro na origem;

Seja , onde . Calcule , onde é a normal unitária exterior a nos seguintes casos:

é uma superfície fechada lisa por partes tal que a origem não pertence a nem à região interior a .

Seja , onde . Calcule , onde é a normal unitária exterior a nos seguintes casos:

é uma superfície fechada lisa por partes que contém a origem em seu interior.

Calcule sendo:

e a parte do parabolóide que está acima do plano , orientada pelo campo de vetores normais que aponta para cima;

Calcule sendo:

e formada pelas faces, que não estão no plano , do tetraedro formado pelos planos coordenadas e o plano , sendo o campo normal exterior ao tetraedro.

Calcule o fluxo através de ( = normal unitária exterior), para:

e o elipsóide ;

Calcule o fluxo através de ( = normal unitária exterior), para:

e a superfície do sólido limitado pelos hemisférios , e pelo plano .

Calcule o fluxo através de ( = normal unitária exterior), para:

e sendo o campo de vetores unitários normais a tal que .

Calcule

, onde é a semi-esfera , orientada segundo a normal exterior;

Calcule

, onde S é a parte do plano no primeiro octante, orientada de modo que sua normal satisfaz ;

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

onde é a parte de limitada por .

Calcule a massa das superfícies sendo a densidade pontual de massa para:

é a parte do plano contida no primeiro octante e .

Calcule a massa das superfícies sendo a densidade pontual de massa para:

é o triângulo com vértices e e .

Calcule a massa das superfícies sendo a densidade pontual de massa para:

é a parte do paraboloide contida no semiespaço e .

Calcule a massa das superfícies sendo a densidade pontual de massa para:

é a parte de limitada por e

Calcule a massa das superfícies sendo a densidade pontual de massa para:

é a parte de limitada pelos cilindros e e .

Calcule a integral de superfície para cada um dos campos de vetores e superfícies orientadas indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de através de . Quando é uma superfície fechada, admita que está orientada pela normal exterior.

e é a parte do parabolóide com , orientada de modo que a normal no ponto é ;

Calcule a integral de superfície para cada um dos campos de vetores e superfícies orientadas indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de através de . Quando é uma superfície fechada, admita que está orientada pela normal exterior.

e é a parte do plano interior ao cilindro , orientada de modo que seu vetor normal é ;

Calcule a integral de superfície para cada um dos campos de vetores e superfícies orientadas indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de através de . Quando é uma superfície fechada, admita que está orientada pela normal exterior.

e é a parte do cone entre os planos e , orientada de modo que sua normal satisfaz ;

Calcule a integral de superfície para cada um dos campos de vetores e superfícies orientadas indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de através de . Quando é uma superfície fechada, admita que está orientada pela normal exterior.

e é a esfera ;

Calcule a integral de superfície para cada um dos campos de vetores e superfícies orientadas indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de através de . Quando é uma superfície fechada, admita que está orientada pela normal exterior.

e é o hemisfério orientada de modo que a normal no ponto é ;

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

onde S o bordo da região limitada pelo cilindro e pelos planos e ;

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

onde S e a parte de com 1 ≤ z ≤ 3;

19. Calcule o fluxo de   através de ( normal unitária exterior), para:

(d) , , onde é a porção do paraboloide abaixo do plano e é a normal exterior ao paraboloide com .

21. Calcule as seguintes integrais:

a) , onde é a parte de limitada por , orientada com a normal unitária tal que .

21. Calcule as seguintes integrais:

(b) onde é a parte de interior a , orientada com a normal exterior.

21. Calcule as seguintes integrais:

c) , onde e é a parte de limitada por e , orientada com a normal unitária exterior.

21. Calcule as seguintes integrais:

(d) , onde é a parte de com , orientada com a normal unitária

21. Calcule as seguintes integrais:

(g) , onde é o elipsoide , orientada com a normal unitária exterior.

27. Seja a parte do plano limitada pelo cilindro . Uma parametrização da superfície é

a) , , com e .

b) , , , com e .

c) , , com e .