USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 1a
Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:
- é a parte da esfera interior ao cone ;
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos uma representação paramétrica de em que é a parte da esfera interior ao cone .
A questão também nos pede para calcular a sua área.
Para podermos resolver isso, primeiramente temos que parametrizar a superfície para a qual estamos trabalhando para prosseguir com os próximos passos que vamos ver juntos, belezinha?
Não entendeu? Então bora junto 😉
Passo 2
Bom... parametrizando a esfera, temos:
Sendo e os parâmetros, temos a representação paramétrica da superfície:
Como a superfície é interior a um cone, temos para a região D:
Passo 3
Já para a área , devemos fazer:
Dessa forma, fazemos:
Portanto, temos:
Assim, temos:
Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Coloca-se em coordenadas polares, onde , e .
Como a região é definida por , que é uma circunferência, varia-se e , sendo assim, faz-se:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
