Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

  1. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 interior ao cone z ≥ x 2 + y 2 ;

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos uma representação paramétrica de S em que S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 interior ao cone z ≥ x 2 + y 2 .

A questão também nos pede para calcular a sua área.

Para podermos resolver isso, primeiramente temos que parametrizar a superfície para a qual estamos trabalhando para prosseguir com os próximos passos que vamos ver juntos, belezinha?

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... parametrizando a esfera, temos:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 ∴

z = 4 - x 2 - y 2

Sendo x e y os parâmetros, temos a representação paramétrica da superfície:

ϕ x , y = x ,   y , 4 - x 2 - y 2  

Como a superfície é interior a um cone, temos para a região D:

z ≥ x 2 + y 2 ∴

4 - x 2 - y 2 ≥ x 2 + y 2 ∴

x 2 + y 2 ≤ 2

Passo 3

Já para a área A , devemos fazer:

A = ∬ ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y d x   d y

Dessa forma, fazemos:

  • ∂ ϕ ∂ x = 1,0 , - x 4 - x 2 - y 2
  • ∂ ϕ ∂ y = 0,1 , - y 4 - x 2 - y 2

Portanto, temos:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = i j k 1 0 - x 4 - x 2 - y 2 0 1 - y 4 - x 2 - y 2 ∴

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = x 4 - x 2 - y 2 i + y 4 - x 2 - y 2 j + 1 k

Assim, temos:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = x 2 4 - x 2 - y 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 + 1 ∴

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 + 1

Substituindo na integral, temos:

A = ∬ x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 + 1 d x   d y

Passo 4

Coloca-se em coordenadas polares, onde x = r cos ⁡ θ , y = r   s e n   θ e d x d y = r d θ   d r .

Como a região D é definida por x 2 + y 2 ≤ 2 , que é uma circunferência, varia-se 0 < θ < 2 π e 0 < r < 2 , sendo assim, faz-se:

A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π r r 2 4 - r 2 + 1 d θ d r ∴

A = 4 π 2 - 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

x 2 + y 2 ≤ 2

A = 4 π 2 - 2

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Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
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