USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 4a
Calcule a massa das superfícies sendo a densidade pontual de massa para:
é a parte do plano contida no primeiro octante e .
Passo 1
Faaaala pessoal, tudo na paz com vocês?
Então, nessa questão precisamos calcular a massa de uma superfície . Pra fazer isso, nos foi dada a função densidade de massa dessa superfície.
Massa! Pra descobrir a massa de precisamos usar o recurso da integral de superfície! Basicamente, podemos afirmar que:
Perfeito! Então, o nosso problema se resume a resolver a integral de superfície acima. E, para resolver uma integral de superfície podemos seguir os seguintes passos:
Imagina que temos que calcular:
Parametrizar a superfície
Escrever a função como função da parametrização
Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:
Montar a integral:
Resolver como uma integral dupla normal!
Excelente! Então, vamos aplicar tudo isso no nosso item 😊
Passo 2
Bom, pra começar recebemos nesse item a função densidade de massa:
E, a superfície é o plano , no primeiro octante.
Certo! Sabendo disso bora aplicar nossa receita do bolo.
Parametrizar a superfície :
Como trata-se de um plano, podemos usar a parametrização explícita. Assim, temos:
Então:
Além disso, como a nossa superfície está sujeita ao primeiro octante, precisamos ter:
Para que , que depende dos nossos parâmetros, seja sempre não-negativo, os máximos valores que e podem assumir são:
Pra descobrir o valor máximo de , podemos considerar o valor limite pra que também seja não-negativo
Logo:
Excelente! Assim já matamos a parametrização da superfície.
Escrever a função como função da parametrização
Nesse caso, temos:
Mas, é uma das nossas variáveis independentes do problema, ou seja, permanecemos escrevendo:
Boa!
Calcular o módulo do vetor normal à superfície:
Bora lá!
Daí, derivando parcialmente teremos:
Já derivando parcialmente com relação a :
Agora podemos montar o produto vetorial:
Tirando o módulo, vem:
Muito bom pessoal!!
Passo 3
Já estamos acabandooo...
Vamos montar a integral, essa é a nossa quarta etapa na receita do bolo:
Massa! Então bora matar a integral.
Logo, temos:
Prontinho! Matamos mais uma questão!
Obrigado pela atenção gente 😊