Suponha que a superfície S seja o gráfico de uma função f : D ⊂ ℝ 2 → ℝ de classe C 1 , orientada de modo que a sua normal unitária N → tenha a terceira componente não negativa. Se F → = P   i → + Q   j → + R   k → é um campo de vetores sobre S , mostre que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ D ( - P   ∂ f ∂ x - Q ∂ f ∂ y + R ) d x d y .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos dá algumas definições bastantes gerais! Temos uma função definida através de

f : D ⊂ ℝ 2 → ℝ

ou seja, uma função que leva um par de variáveis a um valor real! Esta função é de classe C 1 , ou seja, é contínua e diferenciável ao menos uma vez, e ela representa o gráfico de uma superfície S orientada tal que o vetor normal N → tenha a terceira componente não negativa. O enunciado também nos dá um campo vetorial da forma

F → = P   i → + Q   j → + R   k →

e pede para demonstrar que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ D ( - P   ∂ f ∂ x - Q ∂ f ∂ y + R ) d x d y

Isso pode ser feito escolhendo uma parametrização e escrevendo o nosso vetor normal neste sistema de coordenadas! Em geral, o vetor normal é dado por

N → = r u → × r v → | r u → × r → v |

Parece complicado? Mas se formos com cuidado vai dar tudo certo! Saca só!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer aqui é escolher uma parametrização! Para esse caso em particular, temos a facilidade de poder utilizar as coordenadas cartesianas! De forma que podemos usar uma parametrização da forma

r → = ( x , y , f ( x , y ) )

em que f ( x , y ) é a função indicada no enunciado! Note que usando esta parametrização, devemos escrever o nosso elemento de superfície como

d σ = | r x → × r y → | d x d y

em que o elemento | r x → × r y → | é o jacobiano da mudança de coordenadas! Mais uma vez, convenientemente, não precisamos calcular isso! Já que na expressão do vetor normal, iremos eliminar o jacobiano da jogada! Temos que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ S [ P   i → + Q   j → + R   k → ] ⋅ [ r x → × r y → | r x → × r → y | ] | r x → × r y → | d x d y

ou, simplificando, temos que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ S [ P   i → + Q   j → + R   k → ] ⋅ [ r x → × r y → ] d x d y

Ótimo! Agora só precisamos escrever quem são r → x e r → y ! Bora lá!

Passo 3

Os vetores r x → e r y → são

r x → = ∂ ∂ x [ r → ] = ∂ ∂ x [ x , y , f ( x , y ) ] e r y → = ∂ ∂ y [ r → ] = ∂ ∂ y [ x , y , f ( x , y ) ]

calculando as derivadas parciais, nós obtemos que

r x → = [ 1,0 , ∂ f ∂ x ] e r y → = [ 0,1 , ∂ f ∂ y ]

Se calcularmos o produto vetorial entre eles usando a definição em termos do determinante da seguinte matriz

calculando o determinante, obtemos que

r x → × r y → = k → - ∂ f ∂ y j → - ∂ f ∂ x i → = ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 )

Maravilha! Vamos usar isso dentro de nossa integral de superfície!

Passo 4

Podemos substituir o vetor que calculamos no passo anterior na integral para obter

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ S [ P   i → + Q   j → + R   k → ] ⋅ [ k → - ∂ f ∂ y j → - ∂ f ∂ x i → ] d x d y

calculando o produto escalar, conseguimos finalmente mostrar que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ S ( - P ∂ f ∂ x - Q ∂ f ∂ y + R ) d x d y

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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