Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Ver Teoria
Exercício 102123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 3g

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

g ∫ ∫ S 2 x   2     +   2 y   2     −   2 2 x 2     +   2 y 2       −   1   d σ onde S e a parte de x 2   +   y 2     −   z 2   =   1 com 1 ≤ z ≤ 3;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular a integral de superfície

∫ ∫ S 2 x   2     +   2 y   2     −   2 2 x 2     +   2 y 2       −   1   d σ   ,

a superfície é e a parte de x 2   +   y 2     −   z 2   =   1 com 1 ≤ z ≤ 3

Vamos lá!

Passo 2

Temos que resolver a integral de superfícies:

∫ ∫ S 2 x   2     +   2 y   2     −   2 2 x 2     +   2 y 2       −   1   | n → | d A

Como temos que S e a parte de x 2   +   y 2     −   z 2   =   1 com 1 ≤ z ≤ 3, podemos usar a parametrização:

ϕ ( x ,   y ) = (   x , y ,   x 2   +   y 2   − 1 )

Então a normal fica

n → = ∂ ϕ ( x , y ) ∂ x × ∂ ϕ ( x , y ) ∂ y = 1 ,   0 ,   x x 2   +   y 2   − 1 × ( 0 ,   1 ,   y x 2   +   y 2   − 1 ) = ( - x x 2   +   y 2   − 1 , - y x 2   +   y 2   − 1 , 1 )

Assim,

n → = ( - x x 2   +   y 2   − 1 ) 2 + ( - y x 2   +   y 2   − 1 ) 2 + 1 = x 2 x 2   +   y 2   − 1 + y 2 x 2   +   y 2   − 1 + 1 = 2 x 2 + 2 y 2 - 1 x 2   +   y 2   − 1

Passo 3

Substituindo na integral e usando coordenadas polares, sendo 2 ≤   r   ≤   10 , lembrando que   r = x 2   +   y 2   , e 0 ≤   θ   ≤ 2 π ,temos que

∫ ∫ S 2 x   2     +   2 y   2     −   2 2 x 2     +   2 y 2       −   1   | n → | d A = ∫ ∫ S 2 x   2     +   2 y   2     −   2 2 x 2     +   2 y 2       −   1   2 x 2 + 2 y 2 - 1 x 2   +   y 2   − 1 d A = ∫ ∫ S 2 d A

= √ 2 ∫ 0 2 π ∫ 2 10 r d r d θ  

Vamos resolver primeiro as integrais em θ , temos que

√ 2 ∫ 0 2 π ∫ 2 10 r d r d θ = √ 2 ∫ 2 10 r d r [ ( θ ) ] | 0 2 π = 2 π √ 2 ∫ 2 10 r d r

então, resolvendo em r

2 π √ 2 ∫ 2 10 r d r = 2 π √ 2 [ 1 2 r 2 ] | 2 10 = π √ 2 ( 10 - 2 ) = 8 π √ 2

Assim,

∫ ∫ S 2 x   2     +   2 y   2     −   2 2 x 2     +   2 y 2       −   1   | n → | d A = 8 π √ 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S 2 x   2     +   2 y   2     −   2 2 x 2     +   2 y 2       −   1   | n → | d A = 8 π √ 2

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z = c
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1