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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 3d

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

d ∫ ∫ S x y d σ onde S o bordo da região limitada pelo cilindro x 2 + z 2 = 1 e pelos planos y = 0   e x   +   y   =   2 ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular a integral de superfície

∫ ∫ S x y d σ   ,

a superfície é limitada pelo cilindro

x 2 + z 2 = 1 ,

E pelos planos:

y = 0   e x   +   y   =   2

Vamos lá!

Passo 2

Temos que resolver a integral nas três superfícies:

∫ ∫ S x y | n → | d A

Primeiro vamos olhar para a limitada pelo cilindro:

x 2 + z 2 = 1

Temos que calcular o módulo do vetor normal. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície, note que nas variáveis x e z temos uma circunferência, portanto, vamos escolher a parametrização de nossa superfície usando coordenadas polares no plano xz

ϕ ( y , θ ) = (   c o s θ , y , s e n θ )

em que temos 0 ≤ y ≤ 2 - x = 2 - c o s ⁡ ( θ ) e 0 ≤ θ ≤ 2 π . O vetor normal pode ser escrito como

n → = ∂ ϕ ( y , θ ) ∂ y × ∂ ϕ ( y , θ ) ∂ θ

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

n → = ∂ ϕ ( y , θ ) ∂ y × ∂ ϕ ( y , θ ) ∂ θ = 0,1 , 0 × - s i n s i n   θ   ,   0 ,   c o s θ = ( c o s θ , 0 , s i n θ )

Assim,

n → = s i n θ 2 + c o s θ 2 = 1

Então, substituindo na integral

∫ ∫ S 1 x y n → d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - c o s θ ( c o s θ ) y 1 d y d θ

Vamos resolver a integral em y

∫ 0 2 π ∫ 0 2 - c o s θ ( c o s θ ) y 1 d y d θ = ∫ 0 2 π c o s θ [ y 2 2 ​ | 0 2 - c o s θ ] d θ = ∫ 0 2 π c o s θ ( 2 - c o s θ ) 2 2 d θ

Agora vamos resolver a integral em θ

∫ 0 2 π c o s θ ( 2 - c o s θ ) 2 2 d θ = ∫ 0 2 π c o s θ ( 4 + c o s θ - 4 c o s θ ) 2 d θ = ∫ 0 2 π ( 2 c o s θ + c o s θ 3 2 - 2 c o s θ 2 ) d θ

Essas integrais são tabeladas

∫ 0 2 π ( 2 c o s θ + c o s θ 3 2 - 2 c o s θ 2 ) d θ = 2 s i n θ + s i n θ - s i n θ 3 3 2 - θ + s i n s i n   2 θ   2 ​ | 0 2 π = - 2 π

∫ ∫ S 1 x y n → d A = - 2 π

Passo 3

Na superfície do plano y=0

∫ ∫ S 2 x y n → d A = ∫ ∫ S 2 x ( 0 ) n → d A = 0

Então a contribuição dessa superfície para a integral é nula.

Passo 4

Na superfície do plano   x   +   y   =   2 , podemos usar a parametrização:

ϕ ( x ,   z ) = (   x , 2 - x , z )

Então a normal fica

n → = ∂ ϕ ( x , z ) ∂ x × ∂ ϕ ( x , z ) ∂ z = 1 ,   - 1 ,   0 × ( 0 ,   0 ,   1 ) = ( - 1 , - 1 ,   0 )

Assim,

n → = ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) 2 = √ 2

Então, substituindo na integral e usando coordenadas polares, temos que

∫ ∫ S 3 x y n → d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( r c o s θ ) ( 2 - r c o s θ ) √ 2 r d r d ��

= 2 √ 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 c o s ( θ )   d r d θ - √ 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 c o s 2 ( θ ) d r d θ  

Vamos resolver primeiro as integrais em θ , temos que

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 c o s ( θ )   d r d θ = ∫ 0 1 r 2 d r ∫ 0 2 π c o s ( θ ) d θ = ∫ 0 1 r 2 d r [ s e n ( θ ) ] | 0 2 π

avaliando os limites

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 c o s ( θ )   d r d θ = 0

Temos agora a segunda integral como

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 c o s 2 ( θ ) d r d θ = 1 2 ∫ 0 1 r 3 d r [ ∫ 0 2 π d θ + ∫ 0 2 π c o s ( 2 θ ) d θ ] = 1 2 ∫ 0 1 r 3 d r [ θ | 0 2 π + 1 2 s e n ( 2 θ ) | 0 2 π ]

avaliando os limites, obtemos que

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 c o s 2 ( θ ) d r d θ = π ∫ 0 1 r 3 d r

então

2 √ 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 c o s ( θ )   d r d θ - √ 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 c o s 2 ( θ ) d r d θ = - √ 2 π ∫ 0 1 r 3 d r = - √ 2 π [ 1 4 r 4 ] | 0 1 = - √ 2 π 4

Passo 5

Finalmente, somando as contribuições

∫ ∫ S x y | n → | d A = - ( 2 π + √ 2 π 4 ) = - π 4 ( 8 + √ 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S x y | n → | d A = - π 4 ( 8 + √ 2 )

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