USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 4b
Calcule a massa das superfícies sendo a densidade pontual de massa para:
é o triângulo com vértices e e .
Passo 1
Ooi pessoal, como vocês estão?
Então, nessa questão precisamos calcular a massa de uma superfície . Pra fazer isso, nos foi dada a função densidade de massa dessa superfície.
Massa! Pra descobrir a massa de precisamos usar o recurso da integral de superfície! Basicamente, podemos afirmar que:
Perfeito! Então, o nosso problema se resume a resolver a integral de superfície acima. E, para resolver uma integral de superfície podemos seguir os seguintes passos:
Imagina que temos que calcular:
Parametrizar a superfície
Escrever a função como função da parametrização
Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:
Montar a integral:
Resolver como uma integral dupla normal!
Excelente! Então, vamos aplicar tudo isso no nosso item 😊
Passo 2
Beleza! No caso desse item, temos que:
Além disso, é a superfície do triângulo de vértices e .
Vamos começar:
Parametrizar a superfície :
Antes de parametrizar efetivamente essa superfície, vamos encontrar o plano em que esse triângulo está situado.
Para isso, vamos começar encontrando dois vetores que pertencem ao plano do triângulo. Vamos usar os vértices:
E, o segundo vetor:
Agora vamos tirar o produto vetorial desses vetores:
Daí, temos que a equação do plano é dada por:
Pra descobrir o valor de podemos substituir um dos vértices do triângulo, pois esse vértice também pertence ao plano. Assim, substituindo , temos:
Logo:
Show! Encontramos a equação do plano. Podemos então definir explicitamente em função de e , que serão os nossos parâmetros:
Então, parametrizando a superfície desse plano, temos:
Massa! Mas, ainda precisamos encontrar o intervalo de variação dessas variáveis.
Para isso, podemos tomar o plano (ou seja, ). Da nossa equação do plano, teremos:
E, vendo os vértices:
Além disso, analisando também os vértices do triângulo, temos que:
Perfeito! Com isso finalizamos a parametrização do triângulo, conhecendo também o intervalo de variação dos seus parâmetros.
Passo 3
A próxima etapa é:
Escrever a função como função da parametrização:
No nosso caso, a nossa função é:
Como e são os nossos próprios parâmetros, podemos deixar a função escrita dessa mesma forma.
Calcular o módulo do vetor normal à superfície:
Como vimos no passo anterior, o vetor normal ao plano da superfície do triângulo é:
Tirando seu módulo, temos:
Muito bom!
Agora já reunimos tudo que precisamos para montar a nossa integral. Então vamos lá!
Montar a integral:
Perfeito! Vamos resolver essa integral!
Logo:
Assim:
Portanto:
Prontinho galera! É isso aí, valeeeeu!