USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 3h
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
onde é a parte de limitada por .
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo bom?
Nessa questão temos que calcular a nossa famosa integral de superfície no caso escalar (não temos um campo vetorial).
Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?
Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!
Imagina que temos que calcular:
Parametrizar a superfície
Escrever a função como função da parametrização
Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:
Montar a integral:
Resolver como uma integral dupla normal!
Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso escalar.
Então, bora usar essa ideia na integral pedida no enunciado e matar mais um item 😊
Passo 2
Nesse item, temos:
Ou seja, aqui vale:
Além disso, a superfície é a parte de limitada por .
Massa! Vamo seguir a nossa receita de bolo que vai dar tudo certo 😊
Parametrizar a superfície
Precisamos parametrizar a superfície .
Podemos utilizar a parametrização explícita, assim vamos ter:
Logo, a função da parametrização fica:
O problema dessa parametrização é que fica difícil determinar o intervalo de variação de e de . Como é limitada por
Precisaremos utilizar uma mudança de variáveis depois pra analisar melhor esses intervalos. Mas, vamos um passo de cada vez, beleza?
Escrever a função como função da parametrização:
Como vimos que:
Como é um dos nossos parâmetros, essa função não é alterada:
Show de bola! Vamos para a próxima etapa.
Passo 3
Agora temos a etapa :
Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:
Como usamos a parametrização explícita, tem um truque muito bom pra calcular a normal rapidamente:
Como , vamos ter:
Analogamente:
Daí:
Perfeito!
Vamos para a próxima etapa:
Montar a integral:
Vamos ter:
Show! Nossa missão então é resolver essa integral.
Passo 4
Vamos lá então, queremos resolver:
O problema é que não sabemos como varia e , mas sabemos que eles são limitados por:
Completando quadrados, vamos ter:
Ou seja, a região é uma circunferência. Logo, podemos usar a parametrização usual:
onde:
Massa! Vamos fazer essa mudança de variáveis, mas para isso precisamos calcular o jacobiano.
Logo:
Perfeito! Reescrevendo a integral, teremos:
Resolvendo a segunda integral, ficamos com:
Portanto galera, a integral de superfície dada nesse item vale:
Ufaaa! Terminamos!
Curtiram a solução? Responde Aí!