USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 3a
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
onde é a superfície dada por ;
Passo 1
Eaí gente bonita, tudo na paz com vocês?
Nessa questão temos que calcular a nossa famosa integral de superfície no caso escalar (não temos um campo vetorial).
Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?
Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!
Imagina que temos que calcular:
Parametrizar a superfície
Escrever a função como função da parametrização
Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:
Montar a integral:
Resolver como uma integral dupla normal!
Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso escalar.
Então, bora usar essa ideia na integral pedida no enunciado e matar mais um item 😊
Passo 2
Precisamos calcular:
onde é a superfície dada por .
Ou seja, comparando com o caso geral dado no passo anterior:
Temos:
Massa!
Vamos então seguir a receita de bolo que comentamos anteriormente.
Parametrizar a superfície :
Podemos usar a própria parametrização explícita.
Temos que:
Então, podemos escrever a superfície como:
Escrever a função como função da parametrização:
Nesse caso, teremos a mesma função pois usamos como um dos parâmetros da parametrização. Assim:
Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:
Vamos lá, encontramos que:
Assim:
Já se tomarmos a derivada parcial com relação a , teremos:
Muito bom! Vamos então calcular o produto vetorial:
Calculando o módulo desse vetor, que é o vetor normal, temos:
Logo:
Perfeito!
Por fim, o nosso penúltimo passo é:
Montar a integral:
Montando essa integral, vamos ter:
Usando ainda que:
Temos:
Excelente pessoal! Vamos agora resolver essa integral dupla normalzinha 😊
Passo 3
Nossa missão é resolver a integral:
Na integral de dentro, temos:
Para resolvê-la, vamos fazer a seguinte mudança de variável:
Além disso, os limites de integração irão se tornar:
E:
Logo, temos a integral:
Colocando as constantes pra fora, ficamos com:
Assim, a integral de dentro, se resulta em:
Substituindo na nossa integral dupla, temos:
Prontinho galera! Essa é a resposta da nossa integral de superfície!
Até a próxima 😊