Calcule ∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N →   d S sendo:

( a ) F → ( x , y , z ) = y i → + z j → + x k → e S a parte do parabolóide z = 9 - x 2 - y 2 que está acima do plano z = 5 , orientada pelo campo de vetores normais que aponta para cima;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular a integral de superfície

∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N →   d S

em que o campo vetorial é dado por

F → ( x , y , z ) = y i → + z j → + x k →

O fato de que ele está pedindo exatamente o lado direito do teorema de Stokes me faz questionar que talvez eu deva usá-lo! Portanto, vamos tentar aplicar a seguinte identificação

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N →   d S

em que γ é uma curva fronteira à nossa superfície S ! Se conseguirmos encontrar essa curva e o formato for bem simples, podemos expandir o lado direito através de uma parametrização! Bora lá!

Passo 2

Vamos tentar encontrar a curva, nós temos a seguinte região

Note que a curva é a interseção do parabolóide dado com o plano z = 5 , obtemos que

5 = 9 - x 2 - y 2

ou seja, podemos identificar a seguinte circunferência

x 2 + y 2 = 4

Ou seja, é uma curva bastante simples de se parametrizar! Vamos seguir com o problema!

Passo 3

A integral de linha do lado esquerdo do teorema de Stokes pode ser expandida da seguinte maneira

∫ F → ⋅ d r → = ∫ F → ( γ ( t ) ) ⋅ γ ' ( t ) d t

Como obtivemos que a nossa curva é uma circunferência de raio R = 2 , vamos parametrizá-la da seguinte maneira

γ ( t ) = ( 2   c o s ( t ) ,   2   s e n ( t ) , 4 )

se derivarmos em relação ao parâmetro, temos que

γ ' ( t ) = ( - 2   s e n ( t ) ,   2   c o s ( t ) , 0 )

Maravilha! Com isso em mãos vamos aplicar em nossa integração!

Passo 4

Primeiro, vamos usar a parametrização em nosso campo vetorial para obter

F → ( γ ( t ) ) = ( 2   s e n ( t ) , 4 ,   2   c o s ( t ) )

Portanto, calculando o escalar do campo acima com a derivada da parametrização da curva, temos que

F → ( γ ( t ) ) ⋅ γ ' ( t ) = - 4   s e n 2 ( t ) + 4   c o s ( t )

Desta forma precisamos resolver a seguinte integração

∫ γ F → ⋅ d r → = - 4 ∫ 0 2 π s e n 2 ( t ) d t + 4 ∫ 0 2 π c o s ( t )

Vamos tratar de resolver elas agora!

Passo 5

Primeiro, temos que podemos identificar diretamente o resultado

∫ 0 2 π c o s ( t ) = s e n ( t ) | 0 2 π = 0

e, usando a relação de meio ângulo para o seno, podemos escrever a outra integral como

∫ 0 2 π s e n 2 ( t ) d t = 1 2 [ ∫ 0 2 π d θ - ∫ 0 2 π s e n ( 2 θ ) d θ ]

Usando que

∫ 0 2 π s e n ( 2 θ ) d θ = 1 2 c o s ( 2 θ ) | 0 2 π = 0

e que

∫ 0 2 π d θ = θ | 0 2 π = 2 π

Obtemos finalmente que

∫ γ F → ⋅ d r → = - 4 [ 1 2 2 π ] = - 4 π

ou seja, o teorema de Stokes nos garante que

∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N →   d S = - 4 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Passo 6

Resposta

∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N →   d S = - 4 π

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