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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 10b

Use o teorema de Stokes para calcular ∫ γ F → ⋅ d r → em cada um dos seguintes casos:

( b ) F → ( x , y , z ) = ( z 2   + e x 2 ) i → + ( y 2 + l n ( 1 + y 2 ) ) j → + ( x y + s i n z 3 ) k → e γ é a fronteira do triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 2), orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário;

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

∫ γ F → ⋅ d r →

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( z 2   + e x 2 ,   y 2 + l n ( 1 + y 2 ) ,   x y + s i n z 3 )

Como foi pedido no enunciado, vamos utilizar o Teorema de Stokes! A curva γ é a fronteira do triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 2).

O teorema de Stokes que faz a seguinte identificação

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S

em que

F → ( x , y , z ) = ( z 2   + e x 2 ,   y 2 + l n ( 1 + y 2 ) ,   x y + s i n z 3 )

Primeiro vamos encontrar o vetor normal da superfície!

Passo 2

A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície, nesse caso a superfície que vamos considerar é o plano que contém o triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 2), sendo a equação deste plano z + 2 x + 2 y = 2 . Então escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( u , v ) = ( u , v , 2 - 2 u - 2 v )

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v = ( 1,0 , - 2 ) × ( 0,1 , - 2 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  n → = ( 2,2 , 1 ) .

Passo 3

Vamos calcular as grandezas no lado direito do teorema de Stokes! Podemos começar com

r o t ( F → ) = ∇ → × F →

usando que ∇ → = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ x ) , e usando a fórmula para o produto vetorial, temos

r o t ( F → ) = ( ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z , ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x , ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y )

Sendo F → ( x , y , z ) = ( z 2   + e x 2 ,   y 2 + l n ( 1 + y 2 ) ,   x y + s i n z 3 ) , vamos calcular cada termo

∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z = ∂ ∂ y [   x y + s i n z 3 ] - ∂ ∂ z [   y 2 + l n ( 1 + y 2 ) ] = x ;

∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x = ∂ ∂ z [ z 2   + e x 2 ] - ∂ ∂ x [   x y + s i n z 3 ] = 2 z - y ;

∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y = ∂ ∂ x [   y 2 + l n ( 1 + y 2 ) ] - ∂ ∂ y [ z 2   + e x 2 ] = 0 .

Assim,

r o t ( F → ) = ( x , 2 z - y , 0 ) .

Passo 4

A integral é tal que

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S

temos que a parametrização foi feita em ( u ,   v ) , portanto d S = d u d v , ou seja

∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S = ∫ ∫ S ( u , 2 ( 2 - 2 u - 2 v ) - v , 0 ) ⋅ ( 2,2 , 1 ) d S = ∫ ∫ S ( u , 4 - 4 u - 5 v , 0 ) ⋅ ( 2,2 , 1 ) d S

Note que usei no rotacional a parametrização que escolhemos! Resolvendo o produto escalar, temos que

∫ ∫ S ( u , 4 - 4 u - 5 v , 0 ) ⋅ ( 2,2 , 1 ) d S d S = ∫ ∫ S ( 2 u + 8 - 8 u - 10 v ) d S = ∫ ∫ S ( 8 - 6 u - 10 v ) d S

Passo 5

A superfície considerada é o plano que contém o triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 2), sendo a equação deste plano z + 2 x + 2 y = 2 . Para definir os limites de integração tomamos z=0 e olhando para o plano xy 2 x + 2 y = 2 temos que os limites para u = x e v = y são 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1 - u . Nossa integral se torna então

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u ( 8 - 6 u - 10 v ) d v d u .

Maravilha! Vamos calcular a nossa integração!

Passo 6

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

Precisamos integrar primeiro em v , pois os limites de sua integral dependem de u :

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u ( 8 - 6 u - 10 v ) d v d u

temos que

∫ 0 1 ∫ 0 1 - u ( 8 - 6 u - 10 v ) d v d u = ∫ 0 1 ( 8 - 6 u ) [ v | 0 1 - u ] d u - 10 ∫ 0 1 [ v 2 2 | 0 1 - u ] d u

∫ 0 1 ( 8 - 6 u ) [ 1 - u - 0 ] d u - 10 ∫ 0 1 [ ( 1 - u ) 2 2 - 0 ] d u = ∫ 0 1 [ ( 8 - 6 u ) ( 1 - u ) - 5 ( u 2 + 1 - 2 u ) ] d u

∫ 0 1 ( 8 - 8 u - 6 u + 6 u 2 - 5 u 2 - 5 + 10 u ) d u = ∫ 0 1 ( 3 - 4 u + u 2 ) d u =

agora integrando em u ,

∫ 0 1 ( 3 - 4 u + u 2 ) d u = [ u 3 3 | 0 1 - 2 u 2 | 0 1 + 3 u | 0 1 ] = 1 3 - 2 + 3 = 1 - 6 + 9 3 = 4 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ γ F → ⋅ d r → = 4 3 .

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