USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 24
Considere o campo . O trabalho realizado para deslocar uma partícula ao longo de uma curva lisa e simples contida na esfera com ponto inicial e ponto final é
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Temos que o campo vetorial
o trabalho é obtido através da seguinte integração
em que a curva é percorrida desde o ponto até o ponto . Essa curva é bastante complicada de se parametrizar, no entanto, existe uma maneira de calcular esse trabalho se tivermos que o campo for conservativo! Vamos verificar isso! E, se for verdade, usar o teorema do trabalho para campos conservativos como
Bora tentar fazer isso! Vem comigo!
Passo 2
Um campo conservativo deve obedecer duas condições
- Deve ser possível obter uma funç��o potencial tal que
Vamos começar analisando a condição do rotacional! Usando a seguinte definição
Usando o nosso campo vetorial como
Todas as derivadas são calculadas de maneira análoga, um exemplo é a seguinte
em que usei a regra do quociente, da mesma maneira, temos que
Portanto, a primeira condição é obedecida, já que
Vamos checar se existe agora uma função potencial! Saca só!
Passo 3
A função de potencial é definida tal que
usando a definição do operador nabla , temos que a função potencial deve obedecer os vínculos
precisamos integrar parcialmente cada uma das funções acima, para obter
usando uma mudança de variáveis da forma
note que as funções em aberto podem ser identificadas como o próprio termo em comum em cada equação, portanto, temos que
Vamos finalmente calcular a nossa integral de linha! Saca só!
Passo 4
Como o campo é conservativo podemos usar o teorema da integral de linha para escrever
pois, o caminho é totalmente irrelevante para o resultado! Usando as coordenadas dos pontos na função, temos que
e, também temos que
Portanto, temos que
Alternativa . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta