Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 11d

Calcule , sendo

e é a intersecção do parabolóide com o cilindro , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

e a curva pode ser obtida pela intersecção do cilindro

com a superfície

para isso, vamos utilizar o teorema de Stokes que faz a seguinte identificação

Primeiro vamos encontrar o vetor normal da superfície!

Passo 2

A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

em que é uma parametrização da superfície, nesse caso a superfície que vamos considerar é . Escolhemos a seguinte parametrização

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

Assim, obtemos que a normal é:

Passo 3

Vamos calcular as grandezas no lado direito do teorema de Stokes! Podemos começar com

usando que , e usando a fórmula para o produto vetorial, temos

Sendo , vamos calcular cada termo

;

Assim,

Passo 4

A integral é tal que

temos que a parametrização foi feita em , portanto . Como a superfície é limitada por um cilindro, vamos usar coordenadas polares, então , sendo e . Assim,

Note que usei no rotacional a parametrização que escolhemos. Resolvendo o produto escalar, temos que

Passo 5

A superfície considerada é limitada pelo cilindro . Em coordenadas polares os limites para e são e . Nossa integral se torna então

Maravilha! Vamos calcular a nossa integração!

Passo 6

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

Vamos primeiro integrar em ,

agora integrando em ,

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

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