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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 4e

Calcule a massa das superfícies sendo δ ( x , y , z ) a densidade pontual de massa para:

e )   S é a parte de z = ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) limitada pelos cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = e 2 ,   e δ x , y , z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Ooii gente, como você estão?

Então, nessa questão precisamos calcular a massa de uma superfície S . Pra fazer isso, nos foi dada a função densidade de massa dessa superfície.

Massa! Pra descobrir a massa de S precisamos usar o recurso da integral de superfície! Basicamente, podemos afirmar que:

m S =   ∫ ∫ S δ x , y , z d σ

Perfeito! Então, o nosso problema se resume a resolver a integral de superfície acima. E, para resolver uma integral de superfície podemos seguir os seguintes passos:

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S δ x , y , z d S

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função δ ( x , y , z ) como função da parametrização

δ ϕ u , v

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

N → = ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S δ x , y , z d S = ∫ ∫ D δ ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Excelente! Então, vamos aplicar tudo isso no nosso item 😊

Passo 2

Beleza, no nosso item temos a função densidade de massa dada por:

δ x , y , z = x 2 + y 2

e a superfície S é uma parte de z = l n ⁡ ( x 2 + y 2 ) sendo limitada por dois cilindros:

x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = e 2

Ok! Vamos seguir o nosso passo a passo.

1 )   Parametrizar a superfície S

Bom, começaremos parametrizando a superfície S . Como temos muito termos envolvendo x 2 + y 2 , parece ser interessante usarmos a parametrização de circunferências. Assim, temos:

x = r c o s   θ y = r s e n   θ

Assim, temos que:

z = ln ⁡ r c o s   θ 2 + r s e n   θ 2

= ln ⁡ r 2

Logo:

z = 2 ⋅ ln ⁡ r

Além disso, como S é uma superfície limitada entre dois cilindros:

x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = e 2

Temos que:

1 ≤ r ≤ e

Como também:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Perfeito! Assim, parametrizamos S como:

ϕ r , θ = ( r c o s   θ ,   r s e n   θ , 2 ln ⁡ r )

Excelente!

2 )   Escrever a função δ ( x , y , z ) como função da parametrização

Vimos que a nossa função densidade é dada por:

δ x , y , z = x 2 + y 2

Substituindo pela nossa parametrização, temos:

δ ϕ r , θ = r c o s   θ 2 + r s e n   θ 2

= r 2 ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ )

= r 2

Ou seja:

δ ϕ r , θ = r 2

Show! Tranquilo até aqui?

Passo 3

Continuando, agora precisaremos calcular o vetor normal.

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

N → = ∂ ϕ ∂ r × ∂ ϕ ∂ θ

Temos que:

∂ ϕ ∂ r = c o s θ ,   s e n θ , 2 r

Já em relação a θ :

∂ ϕ ∂ θ = ( - r s e n θ ,   r c o s θ ,   0 )

Logo:

N → = i j k cos ⁡ θ s e n   θ 2 r - r s e n   θ r c o s   θ 0

=   - 2 cos ⁡ θ ⋅ i + - 2 s e n   θ j + ( r c o s 2 θ + r s e n 2 θ ) k

= - 2 cos ⁡ θ i + - 2 s e n θ j + r k

Muito bom galera! Vamos agora tirar o módulo desse vetor:

N → =   - 2 c o s θ 2 + - 2 s e n θ 2 + r 2

N → = 4 + r 2

Prontinho!

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S δ x , y , z d S = ∫ ∫ D δ ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

Vamos ter:

∫ 0 2 π ∫ 1 e r 2 ⋅ 4 + r 2 d r d θ

Massa! Vamos resolver essa integral.

∫ 0 2 π ∫ 1 e r 2 ⋅ 4 + r 2 d r d θ

=   ∫ 0 2 π d θ ⋅ ∫ 1 e r 2 ⋅ 4 + r 2 d r

= 2 π ⋅ ∫ 1 e r 2 ⋅ 4 + r 2 d r

Aqui podemos usar a ideia de integração por partes:

∫ a b u d v = u v a b - ∫ a b v d u

Sendo:

u = r d v = r 4 + r 2 1 2

Temos:

∫ 1 e r 2 ⋅ 4 + r 2 d r = r ⋅ 4 + r 2 3 2 3 1 e - ∫ 1 e 1 ⋅ 4 + r 2 3 2 3 ⋅ d r

= r ⋅ 4 + r 2 3 2 ⋅ 1 3 1 e - 1 3 ⋅ ∫ 1 e 4 + r 2 3 2 d r

= e ⋅ 4 + e 2 3 2 3 - 5 3 2 3 - 1 3 ∫ 1 e 4 + r 2 3 2 d r  

Excelente! Podemos deixar a nossa resposta em função dessa mesma integral. Voltando para a integral dupla, tínhamos:

  ∫ 0 2 π ∫ 1 e r 2 ⋅ 4 + r 2 d r d θ = 2 π ⋅ ∫ 1 e r 2 ⋅ 4 + r 2 d r

Mas, vimos que:

∫ 1 e r 2 ⋅ 4 + r 2 d r = e ⋅ 4 + e 2 3 2 3 - 5 3 2 3 - 1 3 ∫ 1 e 4 + r 2 3 2 d r

Logo, a nossa integral de superfície, que representa a massa da superfície S , vale:

2 π ⋅ e ⋅ 4 + e 2 3 2 3 - 5 3 2 3 - 1 3 ∫ 1 e 4 + r 2 3 2 d r

Prontinho galera! Com isso matamos mais um item 😊

Resposta

2 π ⋅ e ⋅ 4 + e 2 3 2 3 - 5 3 2 3 - 1 3 ∫ 1 e 4 + r 2 3 2 d r

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