USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 3e
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
onde é o hemisfério , ;
Passo 1
Faaaala galera, tudo bom por aí?
Nessa questão temos que calcular a nossa famosa integral de superfície no caso escalar (não temos um campo vetorial).
Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?
Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!
Imagina que temos que calcular:
Parametrizar a superfície
Escrever a função como função da parametrização
Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:
Montar a integral:
Resolver como uma integral dupla normal!
Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso escalar.
Então, bora usar essa ideia na integral pedida no enunciado e matar mais um item 😊
Passo 2
No caso desse item, recebemos a integral:
onde é o hemisfério , .
Assim, temos que a função no integrando vale:
Massa! Vamos seguir nossa receita de bolo pra chegar em um resultado 😊
Parametrizar a superfície :
Como a nossa superfície trata-se de um hemisfério de raio , podemos usar a parametrização clássica das superfícies esféricas:
Onde e pois temos .
Ou seja, temos a função:
Perfeito! Vamos para a próxima etapa.
Escrever a função como função da parametrização
Vimos que:
Então, substituindo a parametrização:
Logo:
Muito bom! Vamos para a próxima etapa.
Calcular o módulo do vetor normal à superfície:
Vamos lá, encontramos que:
Assim:
Já se tomarmos a derivada parcial com relação a , teremos:
Muito bom! Vamos então calcular o produto vetorial:
Esse é justamente o vetor normal! Precisamos apenas calcular o seu módulo!
Perfeito!
Vamos por fim, montar a integral!
Montar a integral:
Substituindo os dadas que encontramos, vamos ter que:
Muito bom pessoal! A nossa missão agora se resume a calcular essa integral!
Passo 3
Queremos calcular a integral:
Então bora lá!
Colocando as constantes para fora da integral, temos:
Chamando:
Além disso, ajeitando os limites de integração, temos:
Logo:
Portanto, a integral de superfície dada no enunciado vale:
É isso gente!
Curtiram a solução? Responde Aí!