USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 25
A integral de linha do campo sobre a curva dada pela intersecção do plano com o parabolóide , orientada de modo que sua projeção no plano é percorrida no sentido anti-horário é
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Temos que o campo vetorial
Uma integral de linha é tal que
a curva é obtida através da intersecção do parabolóide com o plano . O melhor método de resolver essa integral de linha dependerá de o quão complicada por a parametrização desta curva . Já adianto que este campo não é conservativo, então não podemos usar o teorema da integral de linha, no fim das contas teremos que decidir entre o teorema de Stokes
ou a definição de integral de linha, no entanto, essa curva parece ser bastante complicada! Bora tentar verificar isso! Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional usando a definição
usando o formato de nosso campo vetorial, temos que
realizando as derivadas parciais, lembrando que as variáveis que não estão sendo derivadas são tomadas como constantes, temos que
Bem mais simples que o campo vetorial original não é? Agora, vamos dar uma olhada na nossa curva e a superfície obtida durante a intersecção! Saca só!
Passo 3
A nossa intersecção se dá da seguinte maneira
Note que temos uma elipse como nossa curva, e a superfície da qual ela é fronteira é simplesmente o plano . Portanto, podemos identificar o vetor normal diretamente pela equação do plano como
Vamos substituir isso em nossa integral de superfície! Temos que
realizando o produto escalar, temos que
A integral do lado direito é a área da elipse delimitada pela nossa curva! Então, vamos encontrar essa elipse e calcular a sua área! Bora lá!
Passo 4
Fazendo a intersecção do plano com o parabolóide obtemos que
podemos passar para o outro lado da equação e somar e subtrair para completar o quadrado, de forma que
nossa elipse na verdade é uma circunferência de raio . Portanto, sua área é
E, nossa integral de linha pode ser identificada como
Alternativa . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta