USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 3b
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
onde é a esfera ;
Passo 1
Ooi pessoal, tudo bom por aí?
Nessa questão temos que calcular a nossa famosa integral de superfície no caso escalar (não temos um campo vetorial).
Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?
Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!
Imagina que temos que calcular:
Parametrizar a superfície
Escrever a função como função da parametrização
Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:
Montar a integral:
Resolver como uma integral dupla normal!
Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso escalar.
Então, bora usar essa ideia na integral pedida no enunciado e matar mais um item 😊
Passo 2
Precisamos calcular:
onde é a esfera
Ou seja, comparando com o caso geral dado no passo anterior:
Temos:
Massa!
Vamos então seguir a receita de bolo que comentamos anteriormente.
Parametrizar a superfície :
Aqui, a nossa superfície é uma esfera de raio:
Vamos usar a parametrização clássica de superfícies esféricas:
Onde e .
Ou seja, temos a função:
Perfeito! Vamos para a próxima etapa.
Escrever a função como função da parametrização:
Lembra que vimos:
Mas, pela parametrização:
Logo:
Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:
Vamos lá, encontramos que:
Assim:
Já se tomarmos a derivada parcial com relação a , teremos:
Muito bom! Vamos então calcular o produto vetorial:
Esse é justamente o vetor normal! Precisamos apenas calcular o seu módulo!
Perfeito!
Montar a integral:
Montando essa integral, vamos ter:
Como conhecemos os intervalos de variação e e de , podemos ajeitar os limites de integração.
Daí:
Massa! Precisamos apenas resolver essa integral!
Passo 3
Temos que resolver a integral:
Como as variáveis são independentes uma da outra, podemos escrever:
Usando que:
Temos:
Excelente! É só calcularmos a segunda integral agora.
Para isso, podemos chamar:
Usando também que:
Que, com a substituição de variável, vai se tornar:
Mudando também o intervalo de integração:
Vamos ter:
Com o sinal de invertemos os limites de integração:
Assim, teremos:
Portanto:
Valeu galerinha, até a próxima 😊