USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 10d
Use o teorema de Stokes para calcular em cada um dos seguintes casos:
e é a fronteira do parabolóide contida no primeiro octante, orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário;
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração
em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial
Como foi pedido no enunciado, vamos utilizar o Teorema de Stokes! A curva é a fronteira do parabolóide contida no primeiro octante.
O teorema de Stokes que faz a seguinte identificação
em que
Primeiro vamos encontrar o vetor normal da superfície!
Passo 2
A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial
em que é uma parametrização da superfície, nesse caso a superfície que vamos considerar é o parabolóide . Escolhemos a seguinte parametrização
.
Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:
.
Assim, obtemos que a normal é:
.
Passo 3
Vamos calcular as grandezas no lado direito do teorema de Stokes! Podemos começar com
usando que , e usando a fórmula para o produto vetorial, temos
Sendo , vamos calcular cada termo
;
;
.
Assim,
.
Passo 4
A integral é tal que
temos que a parametrização foi feita em , portanto . Como a superfície é um parabolóide contido no primeiro octante, vamos usar coordenadas polares, então , sendo e . Assim,
Note que usei no rotacional a parametrização que escolhemos. Resolvendo o produto escalar, temos que
Passo 5
A superfície considerada é o parabolóide contida no primeiro octante. Em coordenadas polares temos que os limites para e são e . Nossa integral se torna então
.
Maravilha! Vamos calcular a nossa integração!
Passo 6
Vamos começar a nossa integração! Saca só!
Para integrar em utilizamos a substituição e
agora integrando em ,
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta