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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 4c

Calcule a massa das superfícies sendo δ ( x , y , z ) a densidade pontual de massa para:

c )   S é a parte do paraboloide x = 4 - y 2 - z 2 contida no semiespaço x ≥ 0 e δ x , y , z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Fala gente bonita, tudo em paz com vocês?

Então, nessa questão precisamos calcular a massa de uma superfície S . Pra fazer isso, nos foi dada a função densidade de massa dessa superfície.

Massa! Pra descobrir a massa de S precisamos usar o recurso da integral de superfície! Basicamente, podemos afirmar que:

m S =   ∫ ∫ S δ x , y , z d σ

Perfeito! Então, o nosso problema se resume a resolver a integral de superfície acima. E, para resolver uma integral de superfície podemos seguir os seguintes passos:

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S δ x , y , z d S

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função δ ( x , y , z ) como função da parametrização

δ ϕ u , v

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

N → = ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S δ x , y , z d S = ∫ ∫ D δ ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Excelente! Então, vamos aplicar tudo isso no nosso item 😊

Passo 2

Bom, no caso desse item, temos a função densidade de massa dada por:

δ x , y , z = x 2 + y 2

E, a superfície S é dada por:

x = 4 - y 2 - z 2

onde x ≥ 0 .

Massa! Então vamos pra nossa receita de bolo.

1 )   Parametrizar a superfície S :

Aqui podemos usar a própria definição explícita de x que nos foi dada, e parametrizar em função de y e z :

x = 4 - y 2 - z 2

Queremos que x ≥ 0 . Então:

4 - y 2 - z 2 ≥ 0

Logo:

y 2 + z 2 ≤ 4

Ou seja, é a região interna a uma circunferência. Podemos então usar a seguinte parametrização:

y = r ⋅ c o s θ

z = r ⋅ s e n θ

onde:

0 ≤ r ≤ 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo:

x = 4 - y 2 - z 2

= 4 - r 2

Muito bom. Assim, encontramos os intervalos dos parâmetros de r e θ , e também achamos que:

ϕ u , v =   ( 4 - r 2 ,   r c o s θ ,   r s e n θ )

Boa!

2 )   Escrever a função δ ( x , y , z ) como função da parametrização:

Temos:

δ x , y , z = x 2 + y 2

Mas:

x 2 = 4 - y 2 - z 2 2

Substituindo, vem:

x 2 = 4 - r 2 2

δ ϕ r , θ = 4 - r 2 2 + r c o s θ 2

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície:

Bora lá! Temos:

∂ ϕ ∂ r = - 2 r , c o s θ ,   s e n θ

E:

∂ ϕ ∂ θ = 0 ,   - r s e n θ , r c o s θ

Logo:

N → = i j k - 2 r cos ⁡ θ s e n   θ 0 - r s e n θ r c o s θ

= r c o s 2 θ + r s e n 2 θ i + 2 r 2 c o s θ ⋅ j + + 2 r 2 s e n θ ⋅ k

Assim:

N → = r 2 + 2 r 2 c o s θ 2 + 2 r 2 s e n θ

= r 2 + 4 r 4

= r 1 + 4 r 2

Beleza!

Por fim, vamos montar a integral.

4 )   Montar a integral:

Temos:

∫ ∫ S δ x , y , z d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 - r 2 2 + r c o s θ 2 ⋅ r 1 + 4 r 2 ⋅ d r d θ

Nossa, que integral feia hein. Mas vamo nessa, não tem o que fazer.

Passo 3

Nossa missão é resolver a integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 - r 2 2 + r c o s θ 2 ⋅ r 1 + 4 r 2 ⋅ d r d θ

Abrindo uma das funções dentro do integrando, temos:

4 - r 2 2 + r c o s θ 2 =

16 - 8 r 2 + r 4 + r 2 cos 2 ⁡ θ

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 16 - 8 r 2 + r 4 + r 2 cos 2 ⁡ θ r 1 + 4 r 2 ⋅ d r d θ

Vamos separar isso em várias integrais mais convenientes:

A = 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 1 + 4 r 2 d r d θ

B = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 - 8 + cos 2 ⁡ θ r 1 + 4 r 2 d r d θ    

C =   ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 4 ⋅ r 1 + 4 r 2 d r d θ

Assim, nossa integral gigante lá de cima se resume a calcular:

A + B + C

Bora lá! Começando por A :

A = 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 1 + 4 r 2 d r d θ

= 16 ⋅ 2 π ⋅ ∫ 0 2 r 1 + 4 r 2 d r d θ

Chamando:

u = 1 + 4 r 2

∴ d u = 8 r d r

Além disso:

r = 0 ⇒ u = 1

r = 2 ⇒ u = 17

Logo:

A = 32 π 8 ⋅ ∫ 1 17 u 1 2 d u

= 4 π ⋅ 2 3 u 3 2 1 17

= 4 π ⋅ 2 3 ⋅ ( 17 17 - 1 )

Beleza!

Agora em B :

B = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 - 8 + cos 2 ⁡ θ r 1 + 4 r 2 d r d θ    

= ∫ 0 2 π - 8 + cos 2 ⁡ θ d θ ∫ 0 2 r 3 1 + 4 r 2 d r    

Novamente, fazemos:

1 + 4 r 2 = u

d u = 8 r d r

∴ r 2 = u - 1 4

Logo:

∫ 0 2 π - 8 + cos 2 ⁡ θ d θ ⋅ 1 8 ⋅ 1 4 ∫ 1 17 u - 1 u d r

= 1 32 ⋅ ∫ 0 2 π - 8 + cos 2 ⁡ θ d θ ∫ 1 17 u 3 2 - u 1 2 d r

= 1 32 ⋅ 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 1 17 ∫ 0 2 π ( cos 2 ⁡ θ - 8 ) d θ

Como:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Ficamos com:

∫ 0 2 π ( cos 2 ⁡ θ - 8 ) d θ = ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ - 16 2 d θ

= ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ d θ - 15 π

=   - 15 π

Juntando tudo:

1 32 ⋅ 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 1 17 ∫ 0 2 π ( cos 2 ⁡ θ - 8 ) d θ

= 1 16 ⋅ - 15 π ⋅ 17 2 17 5 - 17 17 3 - 1 5 + 1 3

Por fim, vamos calcular C :

C =   ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 4 ⋅ r 1 + 4 r 2 d r d θ

= 2 π ⋅ ∫ 0 2 r 4 ⋅ r 1 + 4 r 2 d r

Fazendo:

u = 1 + 4 r 2

∴ d u = 8 r d r

E, também:

r 2 = u - 1 4

Logo:

C = 2 π ⋅ 1 8 ⋅ 1 4 2 ⋅ ∫ 1 17 u - 1 2 u 1 2 d u

= π 64 ⋅ ∫ 1 17 u 5 2 - 2 u 3 2 - u 1 2 d u

= π 64 ⋅ 2 7 u 7 2 - 4 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 1 17

Daí:

C = π 32 17 3 17 7 - 2 ⋅ 17 2 17 5 - 17 17 3 - 1 7 + 2 5 + 1 3

Perfeito!

Daí, fazendo:

A + B + C

Temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 - r 2 2 + r c o s θ 2 ⋅ r 1 + 4 r 2 ⋅ d r d θ

= 4 π ⋅ 2 3 ⋅ 17 17 - 1 + 1 16 ⋅ - 15 π ⋅ 17 2 17 5 - 17 17 3 - 1 5 + 1 3

+ π 32 17 3 17 7 - 2 ⋅ 17 2 17 5 - 17 17 3 - 1 7 + 2 5 + 1 3  

Após algumas muitas manipulações matemáticas, chegamos em:

= π 840 12563 17 - 2347

  Ufaaaa! Terminamos.

Caímos em integrais bem trabalhosas. Mas vencemos 😊

Até a próxima pessoal!

Resposta

π 840 12563 17 - 2347

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