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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 11c

Calcule ∫ γ v → ⋅ d r → , sendo

( c ) v → ( x , y , z ) = ( 2 x z 3 + y ,   x 2 y 2 ,   3 x 2 z 2 ) e γ é a intersecção das superfícies z = s i n y + 10 e x 2 + y 2 = 16 , orientada de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

∫ γ v → ⋅ d r →

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

v → ( x , y , z ) = ( 2 x z 3 + y ,   x 2 y 2 ,   3 x 2 z 2 )

e a curva pode ser obtida pela intersecção do cilindro

x 2 + y 2 = 16

com a superfície

z = s i n y + 10

para isso, vamos utilizar o teorema de Stokes que faz a seguinte identificação

∫ γ v → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( v → ) ⋅ n →   d S

Primeiro vamos encontrar o vetor normal da superfície!

Passo 2

A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície, nesse caso a superfície que vamos considerar é o plano z = s i n y + 10 . Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( u , v ) = ( u , v , s i n v + 10 ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v = ( 1,0 , 0 ) × ( 0,1 , c o s v ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  n → = ( 0 , - c o s v , 1 ) .

Passo 3

Vamos calcular as grandezas no lado direito do teorema de Stokes! Podemos começar com

r o t ( v → ) = ∇ → × v →

usando que ∇ → = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ x ) , e usando a fórmula para o produto vetorial, temos

r o t ( v → ) = ( ∂ v z ∂ y - ∂ v y ∂ z , ∂ v x ∂ z - ∂ v z ∂ x , ∂ v y ∂ x - ∂ v x ∂ y )

Sendo   v → ( x , y , z ) = ( 2 x z 3 + y ,   x 2 y 2 ,   3 x 2 z 2 ) , vamos calcular cada termo

∂ v z ∂ y - ∂ v y ∂ z = ∂ ∂ y [ 3 x 2 z 2 ] - ∂ ∂ z [ x 2 y 2 ] = 0 ;

∂ v x ∂ z - ∂ v z ∂ x = ∂ ∂ z [ 2 x z 3 + y ] - ∂ ∂ x [ 3 x 2 z 2 ] = 0 ;

∂ v y ∂ x - ∂ v x ∂ y = ∂ ∂ x [ x 2 y 2 ] - ∂ ∂ y [ 2 x z 3 + y ] = 2 x y 2 - 1 .

Assim,

r o t ( v → ) = ( 0,0 , 2 x y 2 - 1 ) .

Passo 4

A integral é tal que

∫ γ v → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( v → ) ⋅ n →   d S

temos que a parametrização foi feita em ( u ,   v ) , portanto d S = d u d v . Como a superfície é limitada por um cilindro, vamos usar coordenadas polares, então d u d v = r d r d θ , sendo u = r c o s θ e v = r s i n θ . Assim,

∫ ∫ S r o t ( v → ) ⋅ n →   d S = ∫ ∫ S ( 0,0 , 2 x y 2 - 1 ) ⋅ ( 0 , - c o s v , 1 ) d S

Note que usei no rotacional a parametrização que escolhemos. Resolvendo o produto escalar, temos que

∫ ∫ S r o t ( v → ) ⋅ n →   d S = ∫ ∫ S ( 2 u v 2 - 1 ) d S

Passo 5

A superfície considerada é limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 16 . Em coordenadas polares os limites para r e θ são 0 ≤ r ≤ 4 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Nossa integral se torna então

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - 6 ( r c o s θ + 1 ) r d r d θ .

Maravilha! Vamos calcular a nossa integração!

Passo 6

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( 2 r 3 s i n θ c o s θ - 1 ) r d r d θ

Vamos primeiro integrar em r ,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( 2 r 3 s i n θ c o s θ - 1 ) r d r d θ = ∫ 0 2 π ( [ r 5 5 | 0 4 ] 2 s i n θ c o s θ - [ r 2 2 | 0 4 ] ) d θ = ∫ 0 2 π ( [ 4 5 5 ] 2 s i n θ c o s θ - [ 4 2 2 ] ) d θ

agora integrando em θ ,

∫ 0 2 π ( [ 4 5 5 ] 2 s i n θ c o s θ - [ 4 2 2 ] ) d θ = [ ( [ 4 5 5 ] 2 s i n θ 2 2 + [ 4 2 2 ] θ ) | 0 2 π ] = [ [ 4 5 5 ] ( 0 - 0 ) + [ 4 2 2 ] ( 2 π - 0 ) ] = - 16 π .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ γ v → ⋅ d r → = 4 π .

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