Use o teorema de Stokes para calcular ∫ γ F → ⋅ d r → em cada um dos seguintes casos:

( e ) F → ( x , y , z ) = ( y + z ) i → + ( 2 x + ( 1 + y 2 ) 20 ) j → + ( x + y + z ) k → e γ é a intersecção do cilindro x 2 + y 2 = 2 y com o plano z = y , orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário;

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

∫ γ F → ⋅ d r →

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( y + z ) i → + ( 2 x + ( 1 + y 2 ) 20 ) j → + ( x + y + z ) k →

Como foi pedido no enunciado, vamos utilizar o Teorema de Stokes! A curva γ é a intersecção do cilindro x 2 + y 2 = 2 y com o plano z = y .

O teorema de Stokes que faz a seguinte identificação

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S

em que

F → ( x , y , z ) = ( y + z ) i → + ( 2 x + ( 1 + y 2 ) 20 ) j → + ( x + y + z ) k →

Primeiro vamos encontrar o vetor normal da superfície!

Passo 2

A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície, nesse caso a superfície que vamos considerar é o plano   z   =   y . Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( u , v ) = ( u , v , v ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v = ( 1,0 , 0 ) × ( 0,1 , 1 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  n → = ( 0 , - 1,1 ) .

Passo 3

Vamos calcular as grandezas no lado direito do teorema de Stokes! Podemos começar com

r o t ( F → ) = ∇ → × F →

usando que ∇ → = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ x ) , e usando a fórmula para o produto vetorial, temos

r o t ( F → ) = ( ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z , ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x , ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y )

Sendo F → ( x , y , z ) = ( y + z ) i → + ( 2 x + ( 1 + y 2 ) 20 ) j → + ( x + y + z ) k → , vamos calcular cada termo

∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z = ∂ ∂ y [ x + y + z ] - ∂ ∂ z [ 2 x + ( 1 + y 2 ) 20 ] = 1 ;

∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x = ∂ ∂ z [ y + z ] - ∂ ∂ x [ x + y + z ] = 0 ;

∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y = ∂ ∂ x [ 2 x + ( 1 + y 2 ) 20 ] - ∂ ∂ y [ y + z ] = 1 .

Assim,

r o t ( F → ) = ( 1 ,   0,1 ) .

Passo 4

A integral é tal que

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S

temos que a parametrização foi feita em ( u ,   v ) , portanto d S = d u d v . Como a superfície é limitada por um cilindro, vamos usar coordenadas polares, então d u d v = r d r d θ , sendo u = r c o s θ e v = r s i n θ . Assim,

∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S = ∫ ∫ S ( 1 ,   0,1 ) ⋅ ( 0 , - 1,1 ) d S

Note que usei no rotacional a parametrização que escolhemos. Resolvendo o produto escalar, temos que

∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S = ∫ ∫ S ( 1 ) d S

Passo 5

A superfície considerada é limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 2 y . Essa equação em coordenadas polares é r 2 = 2 r s i n θ = >   r = 2 s i n θ e o cilindro está em y > 0   , então os limites para r e θ são 0 ≤ r ≤ 2 s i n θ e 0 ≤ θ ≤ π . Nossa integral se torna então

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 π ∫ 0 2 s i n θ r d r d θ .

Maravilha! Vamos calcular a nossa integração!

Passo 6

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 π ∫ 0 2 s i n θ r d r d θ

Vamos primeiro integrar em r , pois seus limites de integração dependem de θ

∫ 0 π ∫ 0 2 s i n θ r d r d θ = ∫ 0 π ( [ r 2 2 | 0 2 s i n θ ] ) d θ = ∫ 0 π 2 s i n θ 2 d θ = ∫ 0 π ( 1 - 1 c o s 2 θ ) d θ

agora integrando em θ , note que já usamos a relação s i n θ 2 = 1 2 - 1 2 c o s 2 θ

∫ 0 π ( 1 - 1 c o s 2 θ ) d θ = [ ( θ - 1 2 s i n 2 θ ) | 0 π ] = [ ( π - 0 ) - 1 2 ( 0 - 0 ) ] = π .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ γ F → ⋅ d r → = π .

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