USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 4d
Calcule a massa das superfícies sendo a densidade pontual de massa para:
é a parte de limitada por e
Passo 1
Fala povo bonito, tudo na paz por aí?
Então, nessa questão precisamos calcular a massa de uma superfície . Pra fazer isso, nos foi dada a função densidade de massa dessa superfície.
Massa! Pra descobrir a massa de precisamos usar o recurso da integral de superfície! Basicamente, podemos afirmar que:
Perfeito! Então, o nosso problema se resume a resolver a integral de superfície acima. E, para resolver uma integral de superfície podemos seguir os seguintes passos:
Imagina que temos que calcular:
Parametrizar a superfície
Escrever a função como função da parametrização
Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:
Montar a integral:
Resolver como uma integral dupla normal!
Excelente! Então, vamos aplicar tudo isso no nosso item 😊
Passo 2
Bom, nesse item nós vamos ter a função densidade de probabilidade dada por:
E, a nossa superfície é parte de
Limitada pelo cilindro
Beleza. Agora que sabemos isso vamos para a nossa receita de bolo 😊
Parametrizar a superfície :
Podemos usar a própria parametrização explícita, daí temos:
Olhando direitinho, isso é o mesmo que escrever:
Logo, temos a parametrização:
Definir os intervalos de variação de e ainda é complicado, pois é limitada por um cilindro, assim precisaríamos passar tudo pra coordenadas cilíndricas. Mas, isso nos levaria a uma integral muito feia por causa da função . Então, por enquanto vamos parar por aqui na parametrização, beleza?
Escrever a função como função da parametrização
Bom, agora podemos escrever a função densidade de massa usando a nossa parametrização.
Como , temos:
Ok!
Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:
Pra calcular o módulo da normal, como temos uma função definida explicitamente, podemos usar a seguinte fórmula bizurada galera:
Assim, temos:
E:
Assim:
Excelente!
Montar a integral:
Bom, vamos ter:
Olha que bonito, os denominadores se cortaram. Daí, temos:
Beleza, nossa missão é resolver essa integral.
Passo 3
Queremos resolver a integral:
O problema é que ainda não sabemos os intervalos de variação de e . Na realidade, precisamos fazer uma mudança de variáveis para conseguir determinar esses intervalos, pois e variam dentro de um cilindro.
Como fizemos uma mudança de variáveis na integral dupla, precisamos multiplica-la pelo Jacobiano.
Logo:
Além disso, como é justamente o cilindro que limita , temos:
Logo:
Portanto, ficamos com a integral:
Temos que:
Já:
Como:
Temos:
Portanto gente:
Logo, a massa da superfície vale:
Prontinho galera!
Curtiram a solução? Responde Aí!