Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

Ver Teoria

Exercício 74 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 11a

Calcule , sendo

e é a intersecção do cilindro com a superfície orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

e a curva pode ser obtida pela intersecção do cilindro

com a superfície

para isso, vamos utilizar o teorema de Stokes que faz a seguinte identificação

Primeiro vamos encontrar o vetor normal da superfície!

Passo 2

A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

em que é uma parametrização da superfície, nesse caso a superfície que vamos considerar é o plano . Escolhemos a seguinte parametrização

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

Assim, obtemos que a normal é:

Passo 3

Vamos calcular as grandezas no lado direito do teorema de Stokes! Podemos começar com

usando que , e usando a fórmula para o produto vetorial, temos

Sendo , vamos calcular cada termo

;

Assim,

Passo 4

A integral é tal que

temos que a parametrização foi feita em , portanto . Como a superfície é limitada por um cilindro, vamos usar coordenadas polares, então , sendo e . Assim,

Note que usei no rotacional a parametrização que escolhemos. Resolvendo o produto escalar, temos que

Passo 5

A superfície considerada é limitada pelo cilindro . Em coordenadas polares os limites para e são e . Nossa integral se torna então

Maravilha! Vamos calcular a nossa integração!

Passo 6

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

Vamos primeiro integrar em ,

agora integrando em ,

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S r o tF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 16 , y ≥ 0 , orientado em direção do eixo positivo d

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção posi

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y c o s c o szi → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x .

Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê