Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 11f

Calcule , sendo

e é a intersecção do cilindro com o plano , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

e a curva pode ser obtida pela intersecção do cilindro

com a superfície

Primeiro vamos parametrizar essa curva!

Passo 2

Para parametrizar a curva intersecção entre as duas superf��cies, vamos usar coordenadas polares no plano yz de forma que

Desta forma, temos que

Ou seja, nossa curva é dada por

Passo 3

Temos que

então vamos calcular

Sendo,

Assim,

Lembrando que , temos que

Passo 4

Passo 5

A integral é tal que

O sinal negativo é devido o caminho ser percorrido no sentido anti- horário no plano yz . Assim,

Note que se fizermos a seguinte substituição no segundo termo da integral, temos que e a integral fica

Porém, os limites da integral em são iguais, portanto essa integral é nula

O mesmo acontece para o termo. sabendo disso, voltamos para a integral total

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

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